Attention certaines énigmes sont diaboliques!!!!

+ tres facile (-5 minutes)

* facile (de 5 à 15 minutes environs)

** moyen

***difficile

****diabolique

Pour proposer vos solutions


* Les trois enfants

Canelle a trois enfants et rencontre Nicolas, qu’elle n’a plus revu depuis longtemps. Il lui demande l’âge de ses enfants, et elle, facétieuse, lui répond par une petite énigme :

- Le produit de leurs âges est 72 ;

- Cela ne me suffit pas dit-il…

- La somme de leurs âges est exactement le numéro de la maison qui est là devant toi ;

- Cela ne me suffit toujours pas, répond-il ;

- Mon aînée a peur des chiens ;

- Alors je connais leurs trois âges, dit Nicolas.

Saurez-vous, vous aussi, les trouver ??

Solution


* L'énigme d'Einstein

Il y a 5 maisons de 5 couleurs différentes. Une personne de nationalité différente vit ans chaque maison. Les 5 propriétaires boivent un certain breuvage, fument une certaine marque et ont un certain animal. Aucun propriétaire n'a le même animal, ne fume la même marque ou ne boit la même boisson.

1.L'Anglais vit dans la maison rouge.

2.Le Suédois a un chien.

3.Le Danois boit du thé.

4.La maison verte est à gauche de la maison blanche.

5.Le propriétaire de la maison verte boit du café.

6.La personne qui fume Players élève des oiseaux.

7.Le propriétaire de la maison jaune fume Export A.

8.L'homme vivant dans la maison en plein milieu boit du lait.

9.Le Norvégien vit dans la première maison.

10.L'homme qui fume du Dumaurier vit à coté de celui qui a des chats.

11.L'homme qui a des chevaux vit à coté de celui qui fume Export A.

12.Le propriétaire qui fume Rothmans boit de la bière.

13.L'Allemand fume Cigarello.

14.Le Norvégien vit à coté de la maison bleue.

15.L'homme qui fume Dumaurier a un voisin qui boit de l'eau.

Question : Qui a un poisson ?

Solution


Damier

Marie vient de recevoir un jeu constitué d’un damier carré de 36 cases et de 36 pions. Le damier est électronique : à tout moment, le nombre de pions posés sur chaque ligne et sur chaque colonne s’affiche automatiquement.

Marie continue à poser des pions jusqu’à ce que les six nombres affichés sur les lignes soient tous différents. Surprise, Marie constate alors qu’aucun de ces six nombres n'est égal à un des nombres affichés sur une colonne.

Donnez dans l’ordre croissant,les six nombres affichés sur les lignes.

Solution


+ Jours?

Quand après-demain sera hier, il nous faudra autant de jours pour atteindre dimanche qu'il nous en a fallu quand avant-hier était demain, pour que nous soyons aujourd'hui.

Quel jour sommes-nous ?

Solution


* 24

Comment obtenir 24, au moyen des chiffres suivants :

1,3,4,6.

Ils doivent être utilisés comme chiffre et non assemblés en nombre.

Ils doivent tous être utilisés une et une seule fois, et les opérations utilisables sont l'addition, la soustraction, la multiplication et la division.

Solution


* Le Jeu des 25 Mathématiciens

Retrouvez les 25 noms de mathématiciens qui se cachent dans le texte ci-dessous ...

Ce jour-là il fit beau. Naquit alors dans le village un garçon. Tous les gueux de la campagne, qui jouaient et travaillaient dans les champs, lâchèrent boules, billes, dés, cartes, bêches et râteaux. (Sténotherme: "se dit d'un animal marin qui exige une température constante du milieu") Ils s'étaient rassemblés sur la place du village, devant une énorme meule érodée. Le médecin examinait la mère qui portait un châle de soie: "Ton coeur palpite, ta gorge est enflée! Il faut faire appel au prêtre Lambert!" Un garçon fut désigné pour le quérir. "Moi, vraiment ?" Le docteur insista et le jeune homme se mit en route.

Une fois dans la forêt, il aperçut une arche. Immédiatement, il pénétra dans la grotte par un porche monumental. Escaladant les parois, il parvint au sommet et vit la grange où consultait le magicien. Celui-ci avait le nez percé, le visage ridé et un longue barbe. Devant la porte la foule se pressait pour profiter de ses conseils médicaux. Chirurgien à ses heures, il était en train d'opérer un malade. Le messager surgit brusquement dans la pièce. Le mage s'énerva: "Ajournez tous vos rendez-vous ! Nous avons besoin de vos services immédiatement !", lui répondit le garçon."Puisque c'est urgent, je vais tout de suite faire ma potion, je vais aussi y ajouter ces aromates qui donneront meilleur goût."

Il s'en vint au chevet de la malade. "On se tait lors d'une telle intervention ! Qu'on ne me déconcentre pas!" Scalpel à la main, il commença l'opération. "Maintenant, il faut laisser agir le processus biochimique. Dès qu'elle sera remise, donnez-lui du nectar, c'est mieux qu' l' hydromel. Mais en échange de mes services, j' exige d' emporter avec moi le nouveau-né!" "Comment? C'est un scandale, Lambert!" "Il nous berne ou il imagine qu'on va le laisser faire?" Le sorcier se gaussa: "Je crains que vous n'ayez pas le choix". Aussitôt il arracha le nourisson, et sur le mur son ombre se décalqua. "Chien! Il nous le payera!".

Le sorcier avait disparu.

Solution


+ Les 100 Mafieux

Dans un village rongé par la mafia, il y a 100 habitants. Parmi eux il y a au moins un honnête homme mais si on en prend deux au hasard, il y a toujours au moins un mafieux.

Combien y-a-t'il de mafieux dans le village?

Solution


+ Le beaujolais nouveau

Une caisse de vin pèse 1kg. La caisse vide pèse 900 gr de moins que les bouteilles.

Combien pèse la caisse vide ?

Solution


+ Le brocanteur

Un brocanteur achète un chandelier 170 F. Il le revend le jour même à un collègue 180 F. Le lendemain, pris de regrets, il court le lui racheter. Son collègue lui cède pour 190 F. Finalement, le brocanteur le vend à un client pour 200 F.

Combien le brocanteur a-il fait de bénéfice ?

Solution


+ Le sou manquant

Trois amis vont boire quelques bières au café et se soûlent joyeusement. Ils boivent chacun 9 bières à 15 francs pièce, et paient 410 francs avant de repartir en vacillant. Le patron recompte et trouve 405 francs. Honnête, il envoie sa serveuse rendre cinq francs aux trois jeunes gens. Mais celle-ci, moins honnête, se dit:" Comment vont-ils partager 5 francs en trois? Je vais garder deux francs pour moi..." Elle rend donc seulement trois francs.

Faisons les comptes: les trois amis ont au final déboursé 407 francs, plus les deux francs gardés par la serveuse: 409 francs !!

Où est passé le dernier sou ???

Solution


+ Le joailler est un escroc

Un client apporte à son joailler 6 chaînes de 5 anneaux d'or chacune. Il lui demande de les réunir en une seule grande chaine de 30 anneaux. Le joailler lui annonce le prix: "un louis de bronze pour chaque anneau ouvert puis refermé. Cela vous fait donc 6 louis."

Le client proteste: "vous pouvez très bien le faire pour moins cher !"

Comment fait-il ?

Solution


+ Problème de balance

Vous avez 9 boules de métal indiscernables au toucher, dont l'une est plus lourde que les autres. Vous disposez d'une balance traditionnelle à fléau.

Comment trouver la plus lourde en deux pesées comparatives ?

Solution


+ Probabilités (5 gobelets)

Vous êtes parmi les trois candidats d'un jeu assez spécial. Devant vous 5 gobelets, dont l'un cache un bijou.

Chaque joueur joue à son tour en choisissant un gobelet. Si il trouve le bon, il gagne le bijou et les deux perdants sont décapités. S'il se trompe, il est décapité, le mauvais gobelet est retiré et le joueur suivant choisit.

Si vous n'avez pas de pulsions suicidaires, en quelle position allez-vous vous placer ?

Solution


+ Problème de récipients

Vous disposez de deux seaux, respectivement de 5 Litres et 3 Litres, et d'un robinet d'eau.

Comment faire pour mesurer 4 litres d'eau ?

Solution


+ Une hirondelle

A et B sont deux villes distantes de 200 km. Un train part de A vers B, à la vitesse de 100 km/h. Une hirondelle part de B au même instant et vole à 140 km/h vers A. Au moment où elle rencontre le train ,elle fait demi-tour instantanément, repart vers B, arrivée en B elle fait demi-tour, etc...et s'arrête enfin pour souffler quand le train arrive en A.

Combien l'hirondelle a-t'elle parcouru de kilomètres ?

Solution


+ Pélerinage:

Il y a plusieurs siècles, deux pèlerins se rendirent à Saint Jacques de Compostelle. Sur leur chemin, ils rencontrèrent un imposant convoi où se trouvaient un prince et son épouse, leurs sept fils et leurs épouses, chaque couple ayant sept enfants et chaque enfant avait sept besaces et dans chaque besace il y avait sept chats et chacun de ces chats avait sept chatons et chacun de ces chatons jouait avec sept souris et chacune d’elles avait sept souriceaux . « Cela fait beaucoup de monde toutes ces créatures de Dieu !» dit l’un des pèlerins à son compagnon.

Combien étaient-ils au juste à se rendre à Saint Jacques de Compostelle ?

Solution


Magie?

Canelle (qui décidement ne perd pas une occasion de se faire remarquer!) demande à son amie Ninnog (une vraie fan de Mathématiques!) de choisir un nombre entier de 5 chiffres, de renverser l’ordre des chiffres et de soustraire le plus petit des deux nombres du plus grand et lui dit :

« Dès que tu me donnes les trois derniers chiffres de cette différence, je devinerai les deux premiers».

Est-ce possible que Canelle ne se trompe jamais ou est-elle réellement un devin ?

Solution


échiquier

Prenez un échiquier auquel vous enlevez les deux cases blanches des coins. On cherche à paver l'échiquier avec des dominos, chacun recouvrant exactement deux cases contigües, et sans chevauchement.

Peut-on y parvenir et si oui comment ?

Solution


+ Le loup, la chèvre et le choux

Vous transportez un loup, une chèvre et un choux et devez traverser une rivière. Vous avez une barque, mais qui ne peut contenir que vous et un objet ou animal. Si vous laissez ensemble sans surveillance le loup avec la chèvre ou la chèvre avec le choux, vous devinez ce qui arrivera...

Comment faire pour traverser ?

Solution


Soirée mondaine

50 couples sont invités à une soirée de gala. Un mathématicien qui s'ennuie mortellement à cette soirée, décide de demander à chaque invité(e), y compris son épouse, combien il(elle) a serré de mains, en sachant bien entendu que personne ne serre la main de son(sa) conjoint(e). Par un fantastique hasard, il obtient des réponses toutes différentes.

Combien la femme du mathématicien a-t'elle serré de mains ?

Solution


Les 2 jumeaux

Papy Thagore a deux neveux qui sont jumeaux, Jules et Julien, et ne peut les distinguer. Heureusement, il sait que Jules ne ment jamais, mais qu'on ne peut pas prévoir si Julien dit la vérité ou pas.

Un jour il se trouva devant ses deux neveux, l'un habillé en rouge et l'autre en bleu.

Il demanda à celui en rouge si l'autre était Julien. Le jumeau lui répondit par oui ou non, et Papy Thagore put aussitôt savoir qui était qui.

Qui est qui ?

Solution


Les 7 émirs

Le sultan des Emirats Arabes Unis reçoit les impôts collectés par ses 7 émirs. Chacun lui a envoyé un sac rempli de lingots d'or de 1 kg chacun, chaque sac portant le nom de l'émirat.

Un esclave demande une audience au sultan: "L'un de tes émirs t'a trahi: il m'a fait limer les lingots pour qu'ils ne pèsent plus que 900 grammes." Naturellement, au moment où il s'apprête à révéler le nom du coupable, l'esclave est poignardé...

Le sultan malheureusement ne possède qu'une vieille balance de pharmacie française: on met une pièce et le ticket sort avec la masse pesée. Mais le sultan ne possède qu'une pièce française...

Comment peut-il trouver l'émir coupable sachant que de plus la balance se bloque au delà de 25 kg ?

Solution


Papy Thagore et sa voisine

Papy Thagore discute sur le pas de la porte avec sa nouvelle voisine. Entre la pluie et le beau temps, il lui parle de ses 3 filles: " Le produit de leurs âges est 36, et la somme est le numéro de votre maison !"

La voisine réfléchit et s'exclame: "Ca ne me donne pas leurs âges !"

"C'est exact, j'ai omis de vous dire que l'aînée avait des lunettes!"

La voisine trouve alors aussitôt les âges des filles.

Quels sont les âges des filles de Papy Thagore ?

Solution


Le procès du voleur de miches

Dans sa jeunesse, Papy Thagore était un juge reconnu pour sa sagacité. Ce jour-là il devait décider si Emilien avait réellement volé une des miches de notre boulanger. Comme d'habitude, soit Emilien est un menteur invétéré, soit il dit toujours la vérité.

Papy Thagore commence l'interrogatoire de l'accusé: "Est-il vrai que lors de votre arrestation vous avez juré que vous étiez innocent ? ". Emilien répondit par l'affirmative.

Le juge demanda alors: " Depuis, avez-vous déja avoué que vous étiez le voleur ?"

L'accusé répondit alors par Oui ou Non, et après mûre réflexion Papy Thagore sut s'il était coupable ou non du vol des miches.

Emilien est-il coupable ou innocent du vol ?

Solution


+ L'étrange pays des Papous

Au pays des Papous vivent, vous l'aurez deviné, des Papous. Il existe des Papous à poux, des Papous pas à poux, des Papous papa et des Papous pas papa.

Les papous papa à poux disent la vérité ainsi que les papous pas papa pas à poux.

Les papous pas papa à poux et les papous papa pas à poux, quant à eux, mentent systématiquement.

Trois ethnologues se sont rendus au pays des papous. Le premier a rencontré un papou nommé Pouppa. Lui ayant demandé s'il était un papou papa à poux, il n'a pas réussi à déterminer ce qu'il était réellement. Le deuxième logicien rencontra le même Pouppa et lui demanda s'il était un papou à poux pas papa; lui non plus ne put déterminer qui il était. Enfin le troisième logicien, ayant lui aussi rencontré Pouppa, et lui ayant demandé s'il était un papou pas papa pas à poux, ne réussit pas non plus à déterminer ce qu'il était... ouff.

Quelle est la véritable nature de Pouppa ?

Solution


Les 100 moines

Dans un monastère isolé d'Italie, vivent 100 moines. Ils ont fait voeu de silence et ne communiquent JAMAIS entre eux de quelque manière que ce soit. Ils ne se voient que le jour.

Le lundi matin, les moines apprennent qu'une maladie s'est introduite parmi eux. Il y a AU MOINS un malade. Elle n'est pas contagieuse, mais fait apparaître sur le front du malade une tache rouge. Les moines ne possèdent pas de miroir.

Si un moine est absolument sûr qu'il est malade, il se suicide la nuit même. Le lundi suivant au matin, on découvre que tous les moines malades se sont suicidés pendant la nuit.

Combien y-avait-il de malades et que s'est-il passé ?

Solution


***Le retour du sultan

Après la traîtrise du premier émir ( cf l'énigme "les 7 émirs" ), le sultan décide de faire le ménage dans les émirats. Le premier qu'il visite est gouverné par deux frères a et b. Le sultan veut vérifier que les deux sont honnêtes et ne sont pas des menteurs. Ne sachant que faire, le sultan convoque deux de ses plus sagaces mathématiciens qui mèneront des interrogatoires parallèles.

Le premier demande à a: " Est-il vrai que votre frère vous a déjà traité de menteur ? ".

a répond par Oui ou Non. Puis il demande à l'un des deux frères si l'autre est un menteur. L'émir lui répond là aussi par Oui ou Non.

Le deuxième logicien interroge a: "Votre frère a-t-il déjà déclaré que vous étiez tous deux menteurs ? " a répond par Oui ou Non. Le logicien demande alors à l'un des deux si l'autre est un menteur, l'émir répond par Oui ou Non.

Pour simplifier le problème, si l'un des émirs ment, il ment toujours et réciproquement. On sait que l'un des mathématiciens réussit à déterminer qui ment ou qui est honnête et que l'autre n'a pas réussi. Chacun n'a pas eu connaissance des interrogatoires de son concurrent.

Le mensonge étant un crime puni de mort, qui plus est chez un émir, le sultan est réolu à punir un éventuel menteur. Lequel des logiciens a trouvé cette réponse, y a-t-il un menteur sur les deux frères, si oui lequel ??


La bonne boite

Vous avez le choix entre 9 boîtes. L'une d'elles contient un trésor, les autres sont vides ou contiennent un gaz mortel...

Sur chacune des boites se trouve une étiquette. Si la boite contient du gaz, son étiquette est fausse. Si elle contient le trésor, son étiquette dit la vérité. Si elle est vide, à vous de le trouver...

Vous ne pouvez pas trouver sans une petite indication... Mais si je vous indique si la 5ème boite est vide ou non, vous devriez trouver ...

Faites le bon choix...

( A faire naturellement sans aucune aide écrite ... )

Boîte 1

L'étiquette 6 ou la 7 est vraie

Boîte 2

L'étiquette 1 est vraie ou la 3 est fausse

Boîte 3

Le trésor n'est pas dans la 9ème boîte...

Boîte 4

La 2ème étiquette est fausse

Boîte 5

Cette boîte contient du gaz et la 8ème est vide

Boîte 6

Cette boîte est vide...

Boîte 7

L'étiquette de la dernière boîte est fausse

Boîte 8

Cette boîte contient du gaz et la quatrième étiquette est fausse

Boîte 9

Le trésor est dans une boîte impaire...


La fourmi baladeuse

Un fourmi est située à l’un des quatre sommets d’un tétraèdre régulier. A chaque minute, elle choisit au hasard l’une des arêtes partant d’un sommet et se dirige vers la deuxième extrémité de l’arête choisie. Quelle est la probabilité pour qu’une semaine après, elle se retrouve exactement à son point de départ.


Problème N° 1 :

Le lavoir municipal est équipé de 3 robinets. Si l'on n'ouvre simultanément que le premier et le deuxième robinet, le bac du lavoir se remplit en 1 h 10 m. Si l'on n'ouvre simultanément que le premier et le troisième robinet, le bac se remplit en 0 h 50 m. Si l'on n'ouvre simultanément que le deuxième et le troisième robinet, le bac se remplit en 0 h 56 m.

Si l'on ouvre simultanément les 3 robinets, en combien de temps le bac sera-t-il remplit ?


Problème N° 2 :

Pour établir les neuf égalités demandées, il faut : N'utiliser que des "1" dans la première ligne, des "2" dans la deuxième ligne..........des "9" dans la neuvième ligne. Utiliser 6 fois le même chiffre dans la même égalité.

N'utiliser que les quatre opérations (+, -, x, :) et la racine carrée.

1) 21 = 11+11- 1/1 .................... 2) 21 = ............................ 3) 21 = ............................

4) 21 = ...................................... 5) 21 = ............................. 6) 21 = ............................

7) 21 = ...................................... 8) 21 = ............................. 9) 21 = ............................


Problème N° 3 :

Pour faire une pyramide classique (3 faces) de billes à 4 étages, il faut 20 billes. Sachant que les billes font 2 cm de diamètre, quelle est la hauteur de la pyramide ?


Problème N° 4 :

Un élastique est tendu entre un point fixe A et un point mobile B distants de 12 cm. Une fourmi part du point A vers le point B à la vitesse de 4 cm à la minute, sachant que l'élastique est étiré de 3 cm à la fin de chaque minute, en combien de temps la fourmi sera rendue en B ?


Problème N° 5 :

Quatre fontaines (A, B, C, D) alimentent un bassin, la fontaine A remplit le bassin en 2 jours, tandis qu'il faut 3 jours à la B, 4 jours à la C et 1 jour à la D. Sachant que le bassin s'évapore en 20 jours lorsqu'il n'est pas alimenté, combien de temps faut-il aux quatre fontaines ensemble pour remplir le bassin ?


Problème N° 6 :

Une fermière ne possédant pas d'argent liquide règle une dette en donnant une vache, un veau, un cochon et un poulet. Elle avait payé 108210 F pour cinq vaches, sept veaux, neuf cochons et un poulet. Une vache vaut 4000 F de plus qu'un veau, trois veaux autant que dix cochons et trois mille poulets autant que cinq veaux. Combien a-t-elle payé pour régler sa dette ?


Problème N° 7 :

Pour remplir une cuve cylindrique, on dispose de plusieurs tuyaux d'arrivée, tous de même débit ; ces tuyaux sont ouverts progressivement l'un après l'autre. Au départ un seul est ouvert. Lorsqu'un certain niveau est atteint, le second tuyau se met en marche automatiquement, etc. Un détecteur de niveau est placé tous les 40 cm le long de la paroi de la cuve, à partir du fond. Le premier détecteur est atteint au bout de 20 minutes. 50 minutes après l'ouverture du premier tuyau le mécanisme s'arrête. Le niveau de l'eau dans la cuve se trouve alors à 16 cm du bord. Quelle est la hauteur de la cuve ?


Problème N° 8 :

S'il écrit son âge 3 fois à la suite, Théodore retrouve le produit de son âge par celui de sa femme et par ceux de leurs quatre enfants. S'il écrit son âge 4 fois à la suite, il retrouve le produit de son âge par ceux de son père, son grand-père et son arrière-grand père, s'ils étaient encore vivants. D'autre part, il constate que son âge est le quart de la différence de l'âge qu'aurait son arrière-grand-père et celui de son plus jeune enfant. Quel est donc l'âge de Théodore ?


Problème N° 9 :

64 allumettes sont disposées sur une table en 4 tas inégaux. Si l'on transfère du premier tas au troisième autant d'allumettes qu'il y en a dans le deuxième, du quatrième au deuxième autant qu'il y en a dans le deuxième, du premier au troisième autant qu'il y en a alors dans le troisième, et enfin du troisième au quatrième autant qu'il y en a alors dans le quatrième, on obtient un nombre identique dans tous les tas. Combien y avait-il d'allumettes au départ dans chacun des tas ?


Problème N° 10 :

Des abeilles, en nombre égal à la racine carrée de la moitié de l'essaim, se sont posées sur un arbre de jasmin, laissant derrière elles les 8/9 de l'essaim. Une seule abeille du même essaim tournait autour d'un lotus, attirée par le bourdonnement d'une amie tombée par mégarde dans le guet-apens de la fleur au parfum subtil. Combien d'abeilles y avait-il dans l'essaim ?


Problème N° 11 :

Sur la tombe de Diophante (mathématicien grec du IIIè siècle) est écrit ceci : les chiffres diront la durée de sa vie. Sa douce enfance en fait le sixième, un douzième de sa vie a passé. Marié il a vécu le septième de sa vie sans enfant. Cinq ans ont passé. La naissance d'un fils l'a rendu heureux. La vie de ce fils fut deux fois plus courte que celle de son père. Le vieillard a rendu l'âme quatre ans après la mort de son fils. A quel âge est mort Diophante ? (vous devriez le savoir si vous etes arrivez honnêtement jusqu'ici...)


* Problème N° 12 :

Jean dit un jour à Paul : "Je suis trois fois plus âgé que vous ne l'étiez lorsque j'avais l'âge que vous avez aujourd'hui." Et Paul répondit "Quand j'aurai l'âge que vous avez aujourd'hui, le total de nos âges sera de 77 ans." Quel est l'âge de Jean et celui de Paul ?

Solution par Canelle sur le forum


Problème N° 13 :

Chez le poissonnier, j'ai observé trois clientes qui achetaient les mêmes espèces de poissons. La première a acheté 2 limandes, 5 maquereaux, 4 carrelets et a payé 62 F. La seconde, 3 limandes, 5 maquereaux, 1 carrelet et a payé 53 F. La troisième, 2 limandes, 7 maquereaux et 8 carrelets. Combien cette dernière a-t-elle dépensé ?


Problème N° 14 :

Un nombre de trois chiffres augmente de 45 si l'on intervertit l'ordre des deux chiffres de droite, et il diminue de 270 si l'on intervertit l'ordre des deux chiffres de gauche. Que devient-il si l'on intervertit l'ordre des deux chiffres extrêmes ?


Problème N° 15 :

75 vaches ont brouté en 12 jours l'herbe d'un pré de 60 ares. 81 vaches ont brouté en 15 jours celle d'un pré de 72 ares.

Combien de vaches un pré de 96 ares pourra-t-il nourrir pendant 18 jours ?


* Problème N° 16 :

Un marchand a vendu à son premier client la moitié de ses pommes plus une 1/2 pomme, au deuxième client la moitié du reste plus une 1/2 pomme, au troisième client, la moitié du reste plus une 1/2 pomme, etc......, jusqu'au septième client, après lequel il ne lui restait plus de pommes. Combien de pommes avait le marchand ?

Solution sur le forum


Problème N° 17 :

Compléter les égalités suivantes, en utilisant pour chaque égalité, trois fois le chiffre 2 et les signes mathématiques nécessaires.

1 = ------------------------------------- 4 = --------------------------------- 7 = --------------------------------- 10 = -----------------------------

2 = ------------------------------------- 5 = --------------------------------- 8 = 2 x (2 x 2) --------------------11 = -----------------------------

3 = 2 + (2 / 2) ------------------------ 6 = 2 + 2 + 2 -----------------------9 = --------------------------------- 12 = -----------------------------


Problème N° 18 :

Un maire dit à son secrétaire : "J'ai vu aujourd'hui trois personnes. Le produit de leurs âges est 2 450. Peux-tu me dire leurs âges respectifs ?" Le secrétaire répondit non. Le maire dit :"Je précise que la somme de leurs âges est le double du tien, peux-tu me répondre ?"

Pas encore dit le secrétaire. Le maire dit :" J'ajoute que la plus âgée est plus âgée que moi." Maintenant j'en sais assez répondit le secrétaire. Pouvez-vous comme le secrétaire trouver les âges des trois personnes ?


Problème N° 19 :

Les bergers Luc et Max marchent vers le Nord à la recherche de nouveaux pâturages. Ils marchent trois jours, mais pas à la même allure. Le premier jour le chemin de Max est les 9/11 de celui de Luc, le deuxième jour les 11/9, et, le troisième jour les 33/11. Par ailleurs, les hommes se fatiguent, de sorte que la somme des trajets du troisième jour est de 20% inférieure à celle du deuxième jour elle même inférieure de 20% à celle du premier jour. Dans ces conditions, qui de Luc ou de Max alla le plus loin ?


Problème N° 20 :

Un marchand d'oranges dispose 13923 fruits comme indiqué sur le croquis ci-dessous. Sachant qu'il y a 26 oranges dans la largeur, Combien y a-t-il d'oranges dans la longueur (L) ?


Problème N° 21 :

Je ne vous direz pas mon âge, dit Monsieur Eliot, professeur de mathématiques, mais vous le calculerez aisément quand je vous aurai dit que c'est un nombre impair dont le carré est formé de trois chiffres dont les deux premiers sont le palindrome (nombre inversé) de mon âge, et le dernier (celui des unités) donne le total des deux chiffres de mon âge. Quel âge a donc monsieur Eliot ?


Problème N° 22 :

Voilà qui est surprenant ! dit Michel. Quand j'atteindrai un âge correspondant au palindrome ( âge inversé) de mon âge actuel le carré de mon âge sera alors le palindrome du carré de mon âge actuel. Vous trouverez facilement mon âge quand je vous aurai dit que cette particularité se répétera l'an prochain, et que le carré de mon âge est formé de trois chiffres. Quel est l'âge de Michel ?


Problème N° 23 :

Comme c'est bizarre ! dit Ernest. Quand j'aurai trois fois mon âge actuel, le carré de mon âge sera le palindrome du carré de mon âge actuel, carré qui est un nombre de quatre chiffres différents. Quel est l'âge d'Ernest ?


Problème N° 24 :

C'est amusant ! dit Alphonse, j'ai deux fois l'âge de mon frère et cinq fois l'âge de ma sœur. Ma mère a trois fois mon âge. Ma grand-mère a deux fois l'âge de ma mère et mon grand-père a deux fois l'âge de mon père. Si on multiplie mon âge à ceux de mes parents, grands-parents, frère et sœur, on obtient le nombre 441 suivi de six zéros. Quel est l'âge d'Alphonse ?


Problème N° 25 :

Vous trouverez mon âge, dit Antoine, quand je vous aurai dit qu'il suffit de l'ajouter à son carré pour obtenir un nombre terminé par deux zéros, et dont les deux premiers chiffres représentent le palindrome de mon âge. Quel âge a Antoine ?


Problème N° 26 :

Un nénuphar double de surface chaque jour. Il a mis 33 jours 19 heures 35 minutes et 28 secondes pour recouvrir la surface d'un étang. Pour recouvrir le même étang (et sans se recouvrir entre eux), combien de temps mettront deux nénuphars ?


Problème N° 27 :

Un cylindre de verre a une hauteur de 200 mm et une circonférence de 300 mm. A l'intérieur et à 50 mm du sommet se trouve une goutte de miel. Une mouche est située à l'extérieur du cylindre, plus précisément à 50 mm de sa base, du côté directement opposé au miel. Quel est le chemin le plus court que doit emprunter la mouche pour atteindre le miel en marchant et la distance exacte que cela représente ? (oubliez l'épaisseur du cylindre)


Problème N° 28 :

Pour 36 F, une cliente a acheté au marchand de légumes 1 kg d'aubergines, 1 kg de haricots verts, 1 kg de tomates et 1 kg d'asperges. En ajoutant 2 F au prix des aubergines, en retirant 2 F au prix des haricots verts, en doublant le prix des tomates et en divisant par deux le prix des asperges, on obtiendrait le même prix pour chaque variété de légumes. Quels étaient les prix des différents légumes ?


Problème N° 29 :

L'armée du général Lee marchait d'un pas paisible et s'étirait sur dix kilomètres. Lee n'était pas tranquille, car il devait traverser un défilé dans lequel il avait perdu ses trois précédentes armées. Aussi avait-il commandé à l'officier placé en serre-file de lui envoyer un message dès que le dernier homme serait sorti du défilé. Tout alla bien cette fois et l'officier envoya un cavalier avertir Lee. Lorsque le cavalier rejoignit l'officier à l'arrière-garde pour lui dire qu'il avait accompli sa mission, celui-ci se trouvait à l'endroit où passait la tête de l'armée lors de son départ. Quelle est la longueur du trajet parcouru par le cavalier ?


Problème N° 30 :

Un réservoir a la forme d'un parallélépipède rectangle, dont la largeur est égale à la moitié de la longueur. Il est rempli aux trois huitièmes de sa hauteur. En rajoutant 76 hl, le niveau monte de 0,38 mètre. Il reste alors les deux septièmes du réservoir à remplir. Quelle est la hauteur du réservoir ?


Problème N° 31 :

Au cours d'une soirée, des amis échangent tous des poignées de mains. Pendant la soirée, quelques amis s'en vont discrètement un à un. A la fin de la soirée, les amis restant, avant de se quitter, se serrent la main une deuxième fois.

Le nombre de poignées de mains a alors diminué de 76 par rapport à la première fois, au début de la soirée.

Combien y avait-il d'amis à cette soirée ?


Problème N° 32 :

Un fermier avait calculé que la quantité de grains qu'il possédait suffirait à nourrir ses 75 poulets pendant une certaine période. Malheureusement un renard est venu lui dérober un poulet chaque nuit, de telle sorte qu'il a eu suffisamment de grains pour une période 50% plus longue que celle initialement prévue.

Si le renard n'avait pas mangé de poulets, combien de jours aurait duré la réserve de grain ?


Problème N° 33 :

Trouvez deux nombres A et B en tenant compte des données suivantes : Le nombre A comporte trois chiffres. Le chiffre des centaines de ce nombre est égal au tiers du chiffre des unités et le chiffre des dizaines de ce nombre est le double de la somme des deux autres. Le nombre B a quatre chiffres. La somme de ses chiffres est égale à 18. Le chiffre des dizaines est égal à la moitié de celui des unités. Le chiffre des centaines est égal à la somme du chiffre des dizaines et de celui des milliers. Si l'on ajoute 6 903 à ce nombre, on obtient le nombre renversé.


Problème N° 34 :

Trois amis, Alain, Frédéric et Daniel, ont fait la tournée des bars. A chaque bar, ils commandaient un petit blanc, un pastis et un whisky, puis le hasard déterminait qui buvait quoi. Chacun payait sa consommation. Alain, qui racontait cette soirée à son épouse, ne se souvenait plus combien de bars ils avaient ainsi visité, à part qu'au dernier bar, il eut droit au whisky. Il avait dépensé 9 F comme Frédéric, Daniel lui, avait payé 22 F. Chaque consommation coûtait un nombre entier de francs, le même dans tous les bars. Le whisky coûtait le plus cher, et le vin blanc le moins.

Combien de bars ont visité les trois amis, et qu'ont-ils bu chacun ?


Problème N° 35 :

La durée totale du croisement* du Paris-Bordeaux avec un premier train roulant en sens inverse a été de 10 secondes. Quelques minutes plus tard, le Paris-Bordeaux rencontre un second train ; la durée totale de ce second croisement est de 8 secondes. Plus tard, ce deuxième train rattrape le premier. Ils sont alors sur deux voies parallèles Les trois trains sont tous de même longueur et chacun d'eux roule à vitesse constante durant cette période.

Quelle sera la durée totale du dépassement du premier train par le second ?

*La durée totale d'un croisement est celle qui s'écoule entre l'instant où les deux têtes de train sont au même niveau et celui où les arrières le sont aussi. Par analogie, la durée totale d'un dépassement est celle qui s'écoule entre l'instant où l'avant du train le plus rapide coïncide avec l'arrière de l'autre train et celui où l'arrière du train le plus rapide arrive au niveau de l'avant de l'autre train.


Problème N° 36 :

Comment obtenir 1, en utilisant une fois et une seule chacun des dix chiffres de 0 à 9 et en ne faisant intervenir que des opérations élémentaires ? Comment obtenir 100 de la même manière ?


Problème N° 37 :

Nicolas habite en A près d'un jardin carré de 40 m de côté. Chaque matin, en allant en B chercher son journal, il voit Nestor habitant C traverser le jardin pour aller en D acheter son pain. Lorsqu'ils sortent en même temps de chez eux, ils sont de retour également chez chez eux en même temps.

Aujourd'hui, Nicolas a quitté sa maison à l'instant même où Nestor ouvrait la grille du jardin en G pour se rendre à la boulangerie. Il remarqua que Nestor rentrait chez lui, au moment même où lui, Nicolas le croisait sur le chemin du retour. Sachant que leurs maisons sont distantes l'une de l'autre de 100 m, quelle distance sépare la boulangerie de la maison de Nestor ?


Problème N° 38 :

Un grand canal rectiligne passe entre deux villages, plus près de l'un que de l'autre. On veut y construire deux ponts perpendiculaires aux rives. Le premier sera tel que les deux villages soient à distance égale de l'entrée correspondante du pont ; le second tel que la route joignant les deux villages qui l'emprunte soit la plus courte possible.

Où doit-on construire les ponts ?


Problème N° 39 :

Un bateau se déplace sur une rivière dont le courant a une vitesse de 3 km/h. Il va tantôt dans un sens, tantôt dans l'autre. Il revient ainsi à son point de départ 6 heures après être parti, en ayant effectué un périple de 36 km.

Quelle est sa vitesse, sachant qu'il ne perd pas de temps en changeant de sens ?


Problème N° 40 :

Des enfants se partagent un sac de billes. Le premier enfant en prend 1 et le dixième de celles qui restent, puis le deuxième en prend 2 et le dixième du reste, le troisième 3 et le dixième du reste, et ainsi de suite jusqu'au dernier, qui prend tout ce qui reste. Combien y avait-il d'enfants et combien chacun a-t-il pris de billes sachant que toutes les parts étaient égales ?


Problème N° 41 :

Trois interrupteurs permettent chacun d'allumer une ampoule dans la salle voisine.

Comment affecter chaque interrupteur à une ampoule en allant constater l'effet dans la salle juste une seule fois ?


Problème N° 42

On a 6 morceaux de chaîne de 4 maillons chacun

Ouvrir un maillon coûte 1€

Souder un maillon pour le fermer coûte 5€

Quel est le coût pour former une seule chaîne avec ces morceaux ?

N.B : cherchez la solution la plus aventageuse


Problème N° 43 :

397 pions sont disposés sur une table, formant un hexagone régulier, comme sur le schéma

Combien y a-t-il de pions sur chacun des 6 côtés.


Problème N° 44 :

Une roue à 8 dents s'engrène dans une autre à 24 dents. La petite roue tourne autour de la grosse. Combien de fois la petite roue aura-t-elle tourné autour de son axe lorsqu'elle aura effectué 3,5 tours complets de la grosse ?


Problème N° 45 :

L'autoroute Biarritz-Bilbao a pour longueur approximative 150 km. En Mercedes, Jean mets pour la franchir 25 minutes de moins que sa femme avec sa Clio. Or, l'autre jour, ils sont partis en même temps, elle de Bilbao et lui de Biarritz. Quand ils se sont croisés, ils ont observé que la différence entre les distances encore à franchir, en km, était égale à la différence entre les nombres de minutes qu'il leur restait encore à rouler, s'ils conservaient leurs vitesses habituelles respectives. A combien de km étaient-ils alors de Bilbao ? Et combien de temps avaient-ils roulé avant de se croiser ?


Problème N° 46 :

Deux paysannes ont apporté au marché ensemble 100 oeufs. L'une d'elle avait un plus grand nombre d’œufs que l'autre, mais toutes les deux ont reçu la même somme. La première a dit alors à la seconde : "Si j'avais eu tes oeufs, j'aurais reçu 15 francs". l'autre a répondu : "Et si moi, j'avais eu tes oeufs, j'aurais reçu 6 francs et 2/3".

Combien d’œufs avait chaque paysanne ?


Problème N° 47 :

Pour la somme de 50 francs on a acheté 100 fruits différents aux prix suivant :

Melons : 5 francs .........Pommes : 1 franc .........Prunes : 10 centimes.

Combien de fruits de chaque sorte ont été achetés ?


Problème N° 48 :

Quatre statues alimentent un bassin près du lac Aléman. Chacune d'elles représente un des 4 grands fleuves qui prennent leur source en Suisse. C'est ainsi que le Pô remplit le bassin à lui tout seul en 4 jours, tandis qu'il faut 3 jours au Rhin, 2 au Danube, un au Rhône et 10 h 30 min. 40 sec aux 4 statues réunies.

En combien de temps, lorsqu'il cesse d'être alimenté, le bassin s'évapore-t-il ?


Les nombres Phénix

Le bestiaire des nombres recèlent de bien curieux phénomènes... Très curieux sont en effet les nombres phénix, qui comme leur nom l'indique peuvent renaître de leurs cendres!! Comment ? En voici un exemple: le nombre 052631578947368421 (à vos souhaits) est un de ces nombres si étranges. Vous pouvez essayer de le multiplier par tout nombre entier compris entre 2 et 18: vous ne retrouverez bien sur pas notre nombre de départ, mais les chiffres du résultat se suivent exactement dans le même ordre, à un décalage près !!! exemple: si on le mulitplie par deux, on obtient 105263157894736842... le dernier 1 du nombre de départ s'est retrouvé en tête du nombre d'arrivée !! Pour le moins étonnant !!

Et le plus étonnant est qu'il existe d'autres nombres ayant les mêmes propriétés !!

Mais celui-ci vous réserve une autre surprise: multipliez-le donc par 19 pour comprendre à quel point ce nombre est "magique"....


Cette solution est a = 95800 b = 217519 c = 414560 et d = 422481

jeu d'échecs

Selon la légende, le jeu d'échecs fut inventé en Inde par un savant. Le roi, séduit par ce nouveau loisir, le convoqua au palais:

-- Ton jeu m'a redonné la joie de vivre! Je t'offre ce que tu désires !

Le sage ne voulait rien et ne dit mot. Le roi offensé s'énerva: "Parle donc, insolent! Tu as peur que je ne puisse exaucer tes souhaits ?"

Le sage fut blessé par ce ton et décida de se venger: "J'accepte ton présent. Tu feras déposer un grain de blé sur la première case de l'échiquier."

-- Et c'est tout ? Te moquerait-tu de moi ?

-- Pas du tout, Sire. Vous ferez mettre ensuite 2 grains sur la deuxième case, 4 sur la troisième et ainsi de suite...

Le roi s'énerva pour de bon: " Puisque tu honores si mal ma générosité, vas-t-en ! Ton sac de blé te sera porté demain et ne me dérange plus !"

Le lendemain matin, le roi fut réveillé par son intendant affolé: " Sire, c'est une catastrophe! Nous ne pouvons pas livrer le blé! Nos mathématiciens ont travaillé toute la nuit: il n'y a pas assez de blé dans tout le royaume pour exaucer le souhait du savant!"

En effet, le nombre de grains de blé est égal à 18 446 744 073 709 551 615 !!!!!

On obtient ce nombre par la formule donnant la somme des termes d'une suite géométrique: S = 1* (2^64-1) / (2-1)

S'il voulait fournir le blé, le roi devrait accumuler toutes les moissons réalisées sur Terre depuis 5000 ans !! Si son silo mesure 4 mètres sur 10, sa hauteur devra être de 300 millions de kilomètres, deux fois la distance Terre-Soleil !!

Moralité: Il faut toujours se méfier des progressions géométriques, qui commencent l'air de rien par de tous petits nombres et engendrent de véritables monstres !

Décidément, le jeu d'échecs recèle bien des grands nombres: le nombre de parties possibles est estimé à 10 puissance 120, soit plus que le nombre estimé d'atomes dans l'Univers !!


Le Problème de Syracuse

Ce fameux problème né à Syracuse aux Etats-Unis, a suscité une conjecture qui n'est toujours pas démontrée.

Prenez un entier naturel quelconque. S'il est pair, divisez-le par 2. S'il est impair, multipliez-le par 3 et ajoutez 1.

Continuez de la même façon...et arrêtez-vous quand vous arrivez à 1.

La conjecture suppose que l'on arrive toujours à 1.

On peut associer à chaque entier une hauteur , qui est le nombre d'opérations nécessaires avant d'arriver à 1 exemple: h(1)=0

h(32)=5 32 16 8 4 2 1

h(5)=5 5 16 8 4 2 1

h(9)=19 9 28 14 7 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1


Problème 49:

Diophante est consulté par le gouverneur de la ville d’Alexandrie qui veut mettre en place un ambitieux programme de répartition des richesses. La population de la ville est divisée en cinq classes socio-économiques : la classe 1 est la plus pauvre, la classe 2 est un peu moins pauvre et ainsi de suite jusqu’à la classe 5 qui est la plus riche. Le programme consiste à répartir la richesse par paires de classes en commençant par les classes 1 et 2, puis 3 et 4 et enfin 4 et 5. Répartir signifie que la richesse totale des deux classes est redistribuée également à chaque membre des deux classes. Diophante suggère que la répartition commence par les deux classes les plus riches pour se poursuivre ensuite vers le bas de l’échelle plutôt que vers le haut.

Quel programme sera préféré par la classe la plus pauvre ? Quel est celui que préfèrera la classe la plus riche ?


Problème 50:

Dans un désert, il y a des souris, des serpents et des scorpions. Chaque matin un serpent se nourrit d’une souris ; à midi, chaque scorpion pique un serpent et le tue et le soir chaque souris se régale d’un scorpion.

Ce dernier dimanche soir, il ne restait plus qu’une souris. Une semaine auparavant, combien avait-il de scorpions ? Deux semaines avant, combien de souris ? Quatre semaines auparavant, combien de serpents ?

Que serait la statistique aux mêmes dates, si dimanche dernier il ne restait plus qu’un scorpion ?


Problème 51:

Comment choisir n nombre réels positifs dont la somme vaut 30 afin que leur produit P soit maximum ? Quelles sont les valeurs de n et de P ?


Problème 52:

C’est l’anniversaire de Claire. Il y a un gâteau mais pas de bougies. Si j’avais, dit-elle, un an de plus que le double de l’âge que j’aurais eu si je n’avais eu que le tiers de l’âge que j’aurais eu si j’avais été d’un an plus jeune que la moitié de l’âge que j’ai réellement et si, bien sûr, j’avais mis des bougies à raison d’une par an, il y en aurait juste le quart de ce que j’aurais mis si j’avais eu l’idée d’inverser les chiffres de mon âge et de mettre autant de bougies que le résultat obtenu. Quel âge avait-elle ?


Problème 53:

Trouver trois entiers consécutifs les plus petits possibles qui sont respectivement les multiples du carré, du cube et de la puissance quatrième de trois nombres premiers.


Problème 54:

On soumet la question suivante à 1000 personnes réunies dans un amphithéâtre de Strasbourg:

Votre boisson préférée est-elle : 1) l’eau ? 2) le vin ? 3) la bière ? 4) les jus de fruits ? 5) une autre boisson ?

Chaque personne est invitée à donner par un vote électronique le numéro de sa boisson préférée. En toute logique, les organisateurs attendent une distribution des réponses r(1), r(2), r(3), r(4) et r(5) selon les cinq rubriques avec la somme des r(i) égale à 1000. Mais quelques farfelus au lieu de mentionner le seul numéro de leur boisson préférée déclarent les numéros des quatre autres boissons. On obtient ainsi 407 personnes qui affirment préférer l’eau, 203 le vin, 192 la bière, 138 les jus de fruits et 111 une autre boisson.

Combien de personnes ont correctement répondu en mentionnant une seule boisson? A l’intérieur de quels intervalles se situent les proportions exactes de ceux qui préfèrent l’eau, le vin, la bière et les jus de fruits?


Problème 55:

Je dispose de trois codes d’accès Internet qui sont trois entiers abcdef à 6 chiffres compris entre 100000 et 999999. Pour les garder en mémoire, je décide de les crypter de manière très simple en inscrivant sur mon calepin les premiers chiffres significatifs de la division de abc par def. J’obtiens trois nombres décimaux dont je garde 9 décimales : C1= 0,195323246 C2=0,949760765 et C3=0,370030581.

A partir de C1, C2 et C3 suis-je en mesure de reconstituer avec une calculette ordinaire les trois codes d’origine ?

Puis je réduire le nombre de chiffres significatifs de C1,C2 et C3 tout en étant certain de retrouver les codes d’origine ?


Problème 56:

Pendant la guerre de 1914-18, des travaux de fortification mirent au jour une pertuisane enterrée lors d’un très ancien combat. Si on multiplie la longueur L de la pertuisane exprimée en pieds, par la moitié de l’âge du capitaine qui se distingua au cours de cette bataille, puis par le nombre de jours M que comporte le mois où la pertuisane fut trouvée, enfin par le quart du nombre d’années écoulées entre sa disparition et sa découverte, on obtient le nombre 225 533.

Comment s’appelait le capitaine et au cours de quelle bataille la pertuisane fut enterrée ?


Problème 57:

Diophante part à pied à 9 heures du matin du village A en direction du village B et marche à une vitesse constante. Hippolyte lui aussi à pied est parti de B vingt minutes avant Diophante et emprunte la même route. Sa vitesse est également constante. La route traverse une large rivière. Ils se retrouvent au même moment de part et d’autre de la rivière à l’entrée du pont. Ils se croisent sur le pont puis Diophante quitte le pont une minute après Hippolyte.

Arrivé au village A, Hippolyte fait une halte de 20 minutes avant de repartir vers B. Diophante de son côté arrive au village B un quart d’heure après le départ d’Hippolyte du village A. Diophante fait immédiatement demi-tour pour rentrer chez lui. Les deux amis se croisent à 2kilomètres du pont, ils bavardent ensemble un quart d’heure puis Diophante repart et fait une nouvelle pause d’un quart d’heure sur le pont pour admirer le paysage avant d’arriver au village A à midi.

La question n’est pas « quel est l’âge de Diophante » mais plus naturellement « quelle est la longueur du pont » ?


Problème 58:

Soit P(x) un polynôme dont les coefficients sont tous des entiers relatifs. On sait que P(0)=0 et P(1)=2.

Parmi les dix termes P(4), P(5),….P(13), combien peuvent-ils être des carrés parfaits ?


Problème 59:

Un ensemble E contient 2005 nombres entiers relatifs. A chaque élément de E, on associe la somme de tous les autres éléments de E et on obtient un ensemble F constitué lui aussi de 2005 nombres entiers relatifs. On observe que E et F sont identiques. Trouver le produit de tous les termes de E.


Problème 60:

Trouver deux entiers de 8 chiffres tels que la somme de leurs carrés peut être obtenue par la juxtaposition des deux nombres.


Problème 61:

Trouver les plus petits carrés parfaits dont la représentation en base 10 commence et finit par 4 fois le chiffre 4.


Problème 62:

On dispose de 101 poids en cuivre marqués de1 gramme, 2 grammes, 3 grammes jusqu’à 101 grammes. On perd la masse marquée de 19 grammes. Est-il possible de partager l’ensemble des 100 poids restants en deux groupes ayant le même nombre d’éléments et ayant le même poids total.


Problème 63:

Quatre enfants Anastase, Bonaventure, Cyprien et Donat ont respectivement 13, 14, 15 et 18 agates dans leurs poches. Ils s’apprêtent à jouer une partie de billes quand Eloi se joint à eux. Il n’a pas de billes mais avec ses 6 € en poche, il propose à ses amis de leur acheter un certain nombre d’agates. Tous les quatre décident de mettre leurs 60 billes dans un même sac et d’attribuer à chacun 12 agates.

Anastase fait alors le raisonnement suivant : « la bille vaut 10 centimes d’euros (soit 6€ divisés par 60). Chacun de nous quatre récupère donc sa quote-part des 6€ au prorata du nombre de billes mises dans le sac, soit 1,30€ pour moi, 1,40€ pour Bonaventure, 1,50€ pour Cyprien et 1,80€ pour Donat ».

Ce dernier conteste violemment alors que Cyprien reste muet et que Bonaventure approuve Anastase mais avec une faible conviction. Quelle est la contre-proposition de Donat? Comment s’expliquent le comportement de Cyprien et celui de Bonaventure ? A qui donner raison ?

Félicien arrive juste après que tous les cinq se sont mis d’accord entre eux en adoptant un partage qui donne raison à Donat. Comme Eloi, il n’a pas de billes mais 6€ en poche. Il reçoit dix billes en échange de sa monnaie. Comment se répartissent les 6€ ? Comparer ce cas à celui où Eloi et Félicien seraient arrivés en même temps sans bille mais avec 6€ en poche.


Problème 64:

A Alexandrie, un marchand de légumes avait décidé d’augmenter ses bénéfices en truquant sa balance. L’un des fléaux avait été raccourci et c’est de ce côté qu’il plaçait les poids.

Diophante qui avait remarqué la supercherie dit au marchand :

« Vous êtes malin et je ne cherche pas à vous dénoncer. Je demande seulement que vous mettiez alternativement les poids dans un plateau puis dans l’autre. Un client sera lésé, le suivant sera avantagé. N’est-ce pas équitable ? »

Le marchand s’en fut tout heureux, convaincu qu’il avait échappé à une amende. Respectant les recommandations de Diophante, il fit 1800 pesées d’un kilogramme dans sa journée touchant donc 1800 fois le prix d’un kilogramme de pommes de terre.

Mais en faisant l’inventaire de son stock, il s’aperçut qu’il lui manquait dix kilos de pommes de terre ? De combien avait-il raccourci l’un des fléaux de sa balance ?


Problème 65:

Placer les nombres de 1 à 14 sur les 4 sommets, les 4 faces et les 6 arêtes d’un tétraèdre de sorte que le nombre sur chaque arête soit en même temps la moyenne arithmétique de ceux situés sur les 2 sommets délimitant cette arête et la moyenne de ceux placés sur les 2 faces qu’elle sépare.


Problème 66:

Trouver 4 points sur un cercle tels que les 6 distances entre ces points soient des entiers distincts.


Problème 67:

Nicolas est le buteur attitré de son équipe de rugby. Celle-ci vient de marquer un essai juste dans le prolongement de la ligne de touche (axe Oy sur le graphique ci-après) et pour transformer cet essai, le buteur doit placer le ballon sur cette ligne de touche mais peut choisir un point quelconque de cet axe. Le poteau de gauche A a pour abscisse OA=16,10 mètre et la distance AB qui sépare les deux poteaux est de 9,10 mètres. A quel point T, Nicolas doit-il placer son ballon s’il veut maximiser ses chances de réussite en voyant les deux poteaux sous le plus grand angle possible.


Problème 68:

Un iceberg a la forme d’un polyèdre convexe flottant sur la mer. Se peut-il qu’au moins 90% du volume de l’iceberg se trouve en dessous du niveau de l’eau et qu’au moins 50% de sa surface soit au dessus ?


Problème 69:

Marie a l’habitude d’aller dans un salon de coiffure où trois coiffeuses opèrent avec plus ou moins de talent. L’une d’entre elles fait des prouesses, la seconde travaille dans la norme et la dernière massacre la chevelure des clientes. (et Marie tiens à ses beaux cheveux!)

Chaque matin avant l’arrivée de la clientèle, chacune est coiffée par l’une des deux autres. « Qui coiffe qui »se fait à pile ou face. Un jour Marie se présente à la boutique. Quelle coiffeuse choisira-t-elle pour être le mieux coiffée possible (ou pour éviter la catastrophe) ? On suppose que Marie est sortie satisfaite de la boutique. Qui choisira-t-elle la seconde fois ?


Problème 70:

Quels sont les nombres de la série ci-après qui sont remplacés par A et B:

A, 1, 2, 5, 12, 28 ,65, 151, 351, B


Problème 71:

La concierge de l’immeuble où habite Nicolas a trois filles. Elle s’adresse à Nicolas en lui précisant que le produit de leurs âges est égal à 36 et la somme est égale au numéro de l’immeuble qu’ils habitent.

Nicolas se déclare incapable de deviner les trois âges.

La concierge heureuse de mettre Nicolas en défaut lui annonce qu’elle va en parler à son aînée.

A ces mots Nicolas donne les trois âges.

Quels sont ces trois âges…et subsidiairement quelle est l’adresse de l’immeuble ?


Problème 72:

Lola tend à Laura un papier sur lequel figure un nombre qui est le produit des âges de ses deux nièces et à Férielle un autre papier sur lequel figure la somme de ces âges.

Lola : Devinez leurs âges.

Laura :Je ne peux pas les déterminer

Férielle : Moi non plus

Lola : Vous me décevez.

Laura : Mais je peux donner leurs âges, maintenant.

Quels sont ces deux âges (supposés l’un et l’autre >0)?


Problème 73:

Deux problèmes classiques à la recherche de faux jumeaux :

* Trouver deux dés dont les six faces parfaitement équilibrées comportent des numéros strictement positifs autres que la série 1,2,3,4,5,6 et dont la somme obéit à la même loi de probabilités que celle des dés ordinaires.

* Les nombres entiers de 1 à 9 ont pour somme 45 et pour produit 9 !=362880. Trouver neuf autres nombres compris entre 1 et 9, nécessairement avec répétition, tels que leur somme soit aussi égale à 45 et leur produit à 9 !


Problème 74:

Diophante écrit 2005 fois le chiffre 1 les uns à la suite des autres sur une même ligne. Hippolyte et Théophile à tour de rôle remplacent soit un chiffre 1 par le chiffre 0 soit deux chiffres 1 adjacents par deux 0. Le ou les chiffres 1 peuvent être choisis à n’importe quel endroit sur la ligne . Celui qui ne peut plus jouer a perdu. Le premier joueur Hippolyte a-t-il une stratégie gagnante ?

L’an dernier, avec une alignement de 2004 chiffres 1, Hippolyte aurait-il eu une stratégie gagnante ?


Problème 75:

Trois ouvriers A,B,C sont au sommet d’un immeuble en construction. Il n’y a pas d’escalier pour redescendre et ils ne disposent que d’un monte-charge rudimentaire formé de deux paniers reliés par un câble passant sur une poulie. Un panier ne peut contenir qu’au plus deux personnes ou une personne et la caisse à outils. La descente se fait naturellement, le panier le plus lourd l’emportant sans qu’il soit possible ni à ceux qui sont dans le panier ni aux autres d’aider cette descente. Si le panier qui descend a sur l’autre un excédent de poids de plus de dix kilogrammes, toute personne qui s’y trouverait se blesserait à l’arrivée, en revanche la caisse à outils supporte sans dommage l’atterrissage. A pèse 85 kilogrammes, B 50 kilogrammes et C 40 kilogrammes. La caisse à outils pèse 30 kilogrammes. Au départ un panier étant au sommet et l’autre au sol, combien de manœuvres au minimum des paniers devront effectuer les trois ouvriers pour rejoindre sains et saufs le sol avec la caisse à outils ?


Problème 76:

Trouver trois entiers consécutifs les plus petits possibles qui sont respectivement les multiples du carré, du cube et de la puissance quatrième de trois nombres premiers.


Problème 77:

Diophante soumet ce nombre N de 46 chiffres à Théophile : 1063829787234042553191489361702127659574468085. Il lui suggère de le multiplier par 2 puis par 3 puis par 4 etc… Théophile commence à se livrer à ces multiplications fastidieuses et constate très vite qu’il retrouve chaque fois dans le résultat au moins 45 chiffres du nombre N mais évidemment pas dans la même ordre. Va-t-il observer cette étrange propriété quel que soit le multiplicateur entier de N ?


Problème 78:

Trouver le plus petit nombre qui a exactement 2004 diviseurs y compris 1 et lui-même et celui qui en a exactement 2004 en excluant 1 et lui-même.


Problème 79:

Depuis la rentrée scolaire, Diophante n’a pas arrêté une minute : une interrogation écrite quotidienne ,7 jours sur 7 ! La note qu’il obtient est un nombre entier compris entre 0 et 20 (bornes incluses). A partir du 1 er novembre, il a pu dire chaque jour à ses parents : « Ma note aujourd’hui est meilleure que celle d’il y a trois jours mais il est vrai qu’elle est moins bonne que celle que j’avais obtenue il y a deux semaines jour pour jour ».

Jusqu’à quand a-t-il pu tenir ce langage à ses parents sans être obligé de mentir ? Sachant qu’il n’a jamais obtenu 20, ni de notes inférieures ou égales à 2, quand a-t-il obtenu ses meilleures et ses moins bonnes notes ?


Problème 80:

Trouver une séquence de 38 entiers naturels tels qu’aucun d’entre eux n’ait une somme de chiffres divisible par 11.


Problème N° 81 :

Un peintre en bâtiment commence son travail tôt le matin. Au bout d’un certain temps, un deuxième peintre vient l’aider. Au bout du même temps, un troisième peintre arrive ; et ainsi de suite jusqu’à ce que toute l’équipe termine le travail. Le premier peintre a travaillé 3 fois plus de temps que le dernier arrivé et il n’aurait travaillé que 8 heures si l’équipe entière avait travaillé dès le début. Combien de temps a-t-il travaillé ?


Problème N° 82 :

Julien fait du roller sur une esplanade circulaire à la périphérie de laquelle se dressent 3 statues A, B, C également espacées. Julien s'est fixé une base de départ à un point de la périphérie autre que l'emplacement des statues, et va vers l'une des statues, revient à sa base, puis va vers une autre, revient, etc ... toujours en ligne droite et sans modifier sa vitesse. En partant de sa base, il lui faut 8 secondes pour aller à B et 14 secondes pour aller à C. Combien de temps lui faut-il pour aller de sa base à la statue A ?


Problème N° 83 :

Quand mon fils aura 15 ans de plus qu'il n'a aujourd'hui, il aura l'âge que j'avais quand j'avais 8 fois son âge. Quand il aura atteint l'âge que j'ai aujourd'hui, nous aurons ensemble, si je suis encore de ce monde, 31 fois l'âge qu'il avait quand j'avais 8 fois son âge.

Quel est l'âge de mon fils ?


Problème N° 84 :

C’est amusant, dit Frédéric. Si je multiplie mon âge par 37, j’obtiens un nombre impair de trois chiffres différents dont la somme donne exactement mon âge. Et ce qui est plus drôle encore, c’est que cette même particularité s’était déjà produite, il y a quatre ans. Quel est l’âge de Frédéric ?


Problème N° 85 :

Jean a 9 enfants tous espacés du même nombre d’années. La somme des carrés des âges de tous ses enfants est égale au carré de son âge. Quel est l’âge de Jean ?


Problème N° 86 :

Sur un escalier roulant en marchant (vitesse V) je compte 10 marches. En courant (vitesse 2 V) je compte 16 marches. Combien y a t-il de marches sur cet escalier roulant ?


Problème N° 87 :

Des boulets de canon sont empilés en un tas en forme de pyramide à base hexagonale.

Sachant qu'il y a 21 couches de boulets en comptant le boulet du sommet, combien y a-t-il de boulets ?


Problème N° 88 :

Trouver un nombre dont le carré est composé de deux nombres consécutifs placés côte à côte.


Problème N° 89 :

Trouver un nombre A de quatre chiffres commençant par 5 qui, diminué de son palindrome B, donne un nombre C qui est anagramme des deux autres ?


Problème N° 90 :

Deux militaires disposant de 85 332 boulets de canon chacun, devaient faire deux tas pour décorer l'entrée d'une caserne. Le premier tas devant être en forme de pyramide à base triangulaire, et le second tas en forme de pyramide à base carrée.

La pyramide triangulaire achevée, il resta 12 boulets au premier militaire, qu'il donna au second pour terminer la sienne.

Combien y avait-il de couches de boulets dans chaque tas ?

Quelques jours après, 728 boulets furent volés. Les deux militaires firent 16 pavages séparés, en forme d'hexagone ayant le même nombre de boulets chacun. Combien y a-t-il de boulets sur chacun des 6 côtés des hexagones réalisés ?


Problème N° 91 :

Trouver un nombre de 9 chiffres tel que le nombre formé par ses n premiers chiffres soit divisible par n


Problème N° 92 :

Des billes sont empilées en 1 tas de forme octaédrique (2 pyramides à bases carrées accolées par leurs bases). Sachant qu’avec toutes les billes utilisées pour ce tas, on pourrait faire un carré de billes (une seule couche).

Combien y a-t-il de billes dans le tas ?


Problème N° 93 :

Un litre a la forme d’un cylindre de 20 cm de haut, surmonté d’un goulot de forme traditionnelle, et contient du vin. Si le litre est à l’endroit, on mesure 14 cm de vin. Si le litre est à l’envers, on mesure 11 cm d’air. Combien y a-t-il de vin ?


Problème N° 94 :

2 éclairs, 5 religieuses et 4 meringues coûtent 37 F

3 éclairs, 5 religieuses et 1 meringue coûtent 33 F

Combien coûtent 2 éclairs, 7 religieuses et 8 meringues ?


Problème N° 95 :

L’âge de jean s’obtient en inversant les deux chiffres de mon âge. Le quotient de mon âge par la somme de ces deux chiffres diffère du quotient de l’âge de Jean par la même somme d’un nombre égal à la différence de ces deux chiffres et enfin le produit de ces deux quotients est précisément égal à mon âge.

Quel est mon âge ?


Problème N° 96 :

Par combien de 0 se termine le nombre “ 100 ! ” ?


Problème N° 97 :

En travaillant sur son arbre généalogique Diane s’aperçoit qu’en divisant l’année de naissance de son arrière grand-mère Sophie par l’année d’arrivée en Gironde de son ancêtre pré mérovingien, on trouve 4,234234….

En quelle année est née Sophie.


Problème N° 98 :

N est un entier positif de cinq chiffres. On construit un entier positif P de six chiffres en plaçant un 1 à l’extrémité droite de N. On construit un deuxième entier positif de six chiffres Q, en plaçant un 1 à l’extrémité gauche de N. Sachant que P est égal à trois fois Q, déterminer la valeur de N.


Problème N° 99 :

Trouver un nombre de 41 chiffres qui commence par un 3 qui soit un multiple de 5^19 et dont aucun de ses chiffres ne soit un zéro.


Problème N° 100 :

Trouver 5 nombres consécutifs également espacés dont le total est 25030 et le produit 3 143 779 372 727 395 776


Problème N° 101 :

Quatre amis ont passé la soirée à jouer aux cartes. Le gagnant de la première partie a reçu 1 euro de la part de chacun des trois autres, le gagnant de la deuxième partie 2 euros de la part de chacun des trois autres, celui de la troisième 3 euros de la part des trois autres…, et ainsi de suite. Il y a eu 1 gagnant à chaque partie. Bien qu’il n’est gagné qu’une fois, Alain s’est retrouvé en fin de soirée avec autant d’argent qu’il en avait au début. Combien de parties ont été jouées durant la soirée ?


Problème N° 102 :

14 voitures sont rangées l’une derrière l’autre. Je remarque qu’elles portent toutes un numéro d’immatriculation différent, inférieur à 1500, mais aussi, chose étonnante, que le numéro de chacune est égal à la somme des cubes des chiffres du numéro de la voiture placée devant elle. Quel est le numéro de la cinquième voiture ?


Problème N° 103 :

Comment répartir les sept valeurs 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 entre les sept lettres A, B, C, D, E, F et G pour que les quatre nombres suivants soient tous divisibles par 13 (la solution est unique) ABCD, BCDE, CDEF, DEFG


Problème N° 104 :

Dans un terrain de forme triangulaire, de 34 560 m2 de surface, les longueurs des côtés sont toutes des nombres entiers de mètres, de même que les rayons respectifs de ses cercles inscrit et circonscrit.

Le rayon du cercle circonscrit est égal à 169 m et la distance entre les centres des cercles inscrit et circonscrit vaut 39 m. Quel est le périmètre de ce terrain ?


Problème N° 105 :

Quels sont les six chiffres différents, zéro exclu, qu’il faut écrire sous les lettres A, B, C, D, E, F pour que les six nombres de trois chiffres pouvant être lus de gauche à droite (ABC, BCD, CDE, DEF, EFA et FAB soient tous multiples de 13 ?


Problème N° 106 :

Un rapport composé en deux parties comporte plus de 6 pages et moins de 100 pages. Si on fait la somme des numéros des pages de la première partie et celle des numéros des pages de la deuxième partie, on obtient dans les deux cas le même résultat. Combien de pages comporte le rapport ?


Problème N° 107 :

Trouver un nombre ABCDEFG formé de sept chiffres différents non nuls, tel que chacun des nombres de trois chiffres : ABC, BCD, CDE, DEF, EFG soit divisible par 17 (la solution est unique)


Problème N° 108 :

Un point P est situé à l’intérieur d’un triangle équilatéral ABC ayant 115,5 mm de côté. Ce point P est situé à 20 mm du côté AB et à 30 mm du côté BC, quelle est sa distance au côté AC ?


Problème N° 109 :

On partage les entiers en groupes comme suit: (1), (2,3), (4,5,6), (7,8,9,10), (11,12,13,14,15), ...

Déterminez la somme des nombres dans le nème groupe. Application n = 47


Problème N° 110 :

Quelle doit être la hauteur d’une canette cylindrique dont le volume est de 226 cm3 pour que la surface métallique de cette canette soit minimum ?


Problème N° 111 :

Un joueur qui perdait souvent demande à son ami (amateur de mathématiques) de lui prêter une somme comprise entre 10 000 et 20 000 euros. Pour flatter la manie de son ami il lui dit : Le montant de cette somme lorsqu’il est divisé par 11 donne 5 comme reste, par 12 il donne 7, par 13 il donne 8 et par 14 il donne 13. Son ami lui dit, je te prête une somme inférieure à 10 000 euros si tu sais trouver le montant. Le montant de cette somme lorsqu’il est divisé par 5 donne 3 comme reste, par 7 il donne 4, par 13 il donne 10, et la somme de ses chiffres est égale à 24.

Quelles étaient la somme demandée par le joueur et celle proposée par son ami ?


Problème N° 112 :

Deux frères ayant hérité d’un troupeau de chèvres décident de le vendre et de se partager également la somme produite. Chaque chèvre vaut autant d’euros qu’il y a de chèvres. Le prix de vente est constitué par des billets de 10 euros plus un appoint, inférieur à 10 euros, en euros. Le partage se fait ainsi : l’aîné prend un billet de 10 €, le cadet en prend un à son tour, et ainsi de suite jusqu’au dernier billet de 10 € qui échoit à l’aîné, le cadet ramassant l’appoint. Le cadet fait remarquer à son frère qu’il a reçu moins que lui. L’aîné donne à son frère quelques pièces de 1 € et lui dit que maintenant les parts sont égales.

Combien de pièces l’aîné a-t-il donné à son frère ?


Problème N° 113 :

Un marchand de poivre en grains vend son produit avec une marge de 50% par rapport au prix de son fournisseur et de plus il n’est pas très honnête : l’un des fléaux de sa balance est plus court que l’autre, de sorte que son fournisseur, lorsqu’il lui apporte de la marchandise, doit mettre 1100 grammes sur un plateau pour équilibrer le kilo que place le marchand sur l’autre plateau. Par contre, lorsqu’un client se présente, il n’a pas sur son plateau les 1000 grammes qui devraient équilibrer le kilo mis par le marchand sur l’autre plateau. Sur la dernière livraison, le marchand a fait un super bénéfice de 63 euros.

Combien avait-il payé ce lot ?


Problème N° 114 :

Le maire d’une commune dit un jour : le nombre de mes électeurs a quatre chiffres différents. Si l’on ajoute tous les nombres qu’il est possible de former avec ces quatre chiffres pris trois à trois, on obtient un total égal au carré de la somme de ces quatre chiffres, multiplié par mon âge, et au nombre de mes électeurs multiplié par 36/13.

Quel est mon âge, et combien sont mes électeurs ?


Problème N° 115 :

Quel est le nombre dont les racines carrées et cubique diffèrent de 18 ?


Problème N° 116 :

Trouver un nombre de 3 chiffres différents, un nombre de 4 chiffres différents, un nombre de 8 chiffres différents, un nombre de 9 chiffres différents, un nombre de 10 chiffres différents, chacun étant tel, que si on lui retranche le nombre inversé, la différence soit formée des mêmes chiffres.


Problème N° 117 :

Il y a 41 personnes (hommes, femmes, enfants) en un banquet, qui en tout dépensent 40 sous, mais chaque homme paie 4 sous, chaque femme 3 sous, chaque enfants 4 deniers (il y a 12 deniers dans un sou).

Combien y a-t-il d’hommes, de femmes et d’enfants ?


Problème N° 118 :

Albert dispose d’un nombre d’euros qui lui permet d’acheter en utilisant chaque fois la somme entière :

soit uniquement des bouteilles de vins à 31 € l’une,

soit des bouteilles de vin à 19 € l’une,

soit à la fois des bouteilles à 31 € et des bouteilles à 19 €, cette opération pouvant être faite selon cinq distribution différentes, et cinq seulement

Quelle est la somme dont dispose Albert ?


Problème N° 119 :

Dans une grande surface il y a du lait dans des gros cubes et dans des petits cubes dont les côtés sont des nombres entiers de centimètres. Le plus grand de ces cubes a 819 cm3 de plus que le plus petit.

Si j’achète un gros cube et un petit cube combien de grammes de lait j’aurai en tout ?


Problème N° 120 :

Dans un verre en forme de cône, on verse du mercure (densité 13,59), puis de l’eau, puis de l’huile (densité (0,915) de façon que les 3 couches soient de la même épaisseur. Qu’est-ce qui pèse le plus lourd dans ce verre, l’eau, l’huile ou le mercure ?


De combien de façons deux reines, deux tours, deux fous l’un et l’autre placés sur des cases de couleurs différentes et un cavalier peuvent–ils contrôler toutes les cases d’un échiquier standard 8x8 ? Est-il possible de contrôler toutes les cases en faisant l’économie d’une ou plusieurs pièces ?


Comment placer huit reines d’un jeu d’échecs sur un échiquier 5x5, dont cinq blanches et trois noires, de telle sorte qu’aucune reine d’une couleur ne soit en prise avec une reine de l’autre couleur.


Trois amis A,B et C décident de se rendre à la ville la plus proche située à 60 kilomètres de leur village. Ils disposent d’une vieille mais fidèle moto qui peut transporter deux d’entre eux à la vitesse moyenne de 50km à l’heure. Si non, ils n’ont que leurs jambes qui leur permettent de parcourir 5 km à l’heure. Il est midi et ils ont un rendez-vous à la ville à 15 heures. Seront-ils à l’heure ?

Ils sont quatre amis A,B,C et D toujours avec la même vieille moto qui roule à 50 km/h . Quand ils ont à pied, ils marchent à la même allure de 5km/h. Peuvent-ils atteindre la ville en moins de 4 heures ?

Ils sont k amis. Peuvent-ils atteindre la ville en moins de k heures ?


*

A et B décident d’aller à la piscine située à 10 kilomètres de leur domicile. Ils disposent d’une seule bicyclette qui peut rouler à 20 km/h.A pied leur allure est de 5 km/h. Ils partent ensemble de la maison. Comment doivent-ils s’organiser pour se retrouver le plus tôt possible au bord de la piscine ?

*

A et B sont accompagnés de leur chien C qui trotte à 12 km/h. Le chien très savant sait faire lui aussi de la bicyclette. Comment s’organisent-ils pour se retrouver le plus tôt possible tous les trois au bord de la piscine ?

*

Avant leur départ, D camarade de A et B se joint à eux et il amène une deuxième bicyclette qui roule à la même allure que la première. D marche lui aussi à 5 km/h. Avec les deux bicyclettes, comment s’organisent-ils pour se retrouver le plus tôt possible tous les trois au bord de la piscine ?


Ce problème est une n-ième variante de traversée avec un bateau qui contient un nombre limité de places et des passagers qui ont du mal à cohabiter. Cette fois-ci, il y a une île au milieu du lac. Le bateau ne contient que deux personnes et il s’agit de faire traverser le lac à 4 couples de personnes mariées avec halte possible dans l’île sachant qu’aucune femme ne peut être laissée seule en compagnie d’un autre homme si son mari n’est pas présent. Chaque personne peut manœuvrer le bateau.

Déterminer le plus petit nombre x de traversées nécessaires d’une rive à l’autre du lac.


1° Quatre amis doivent traverser une passerelle qui est en pleine obscurité. Il doivent impérativement s’éclairer mais ils n’ont qu’une seule lampe de poche dont la pile a une durée de vie de 17 minutes. La passerelle est peu solide et seuls deux d’entre eux peuvent la traverser en même temps. Les quatre amis ont des capacités très variables pour traverser la passerelle. Le plus rapide met une minute, les trois autres respectivement 2, 5 et 10 minutes. Il va de soi que lorsque deux d’entre eux traversent ensemble la passerelle, c’est le temps du plus lent qui donne la durée de la traversée. Peuvent-ils traverser tous les quatre la passerelle avec cette lampe de poche pratiquement « à bout de souffle » ?

2° Ils sont six amis à vouloir traverser la passerelle. Les contraintes et les conditions de la traversée sont les mêmes que ci-dessus. Les temps respectifs mis par chacun d’eux pour traverser la passerelle sont de 1,3,4,6,8 et 9 minutes ? Quelle est la durée de vie minimale de la pile qui leur permet de traverser la passerelle ?

3° Ils sont sept amis dont les temps respectifs sont de 1, 2, 6, 7, 8, 9 et 10 minutes. La passerelle a été consolidée et trois personnes peuvent la traverser en même temps. Il y a toujours une seule lampe de poche. Quelle est la durée minimale de la traversée par les sept amis ?


Pour franchir une rivière,3 missionnaires et 3 cannibales doivent utiliser une passerelle qui ne peut supporter plus de 2 personnes. Si à tout moment les cannibales sont plus nombreux que les missionnaires sur l’une des deux rives, les missionnaires seront tués et mangés. Les six protagonistes peuvent-ils traverser la rivière sains et saufs ? S’ils le peuvent, comment y arrivent-ils avec un minimum de traversées et quel est le nombre de façons de parvenir à ce minimum? Que se passe-t-il avec 4 missionnaires et 4 cannibales ?

Généraliser le problème avec a missionnaires et a cannibales, a=4,5 et 6 et une passerelle supportant p personnes (p=2,3,4,5). Sur la passerelle comme sur chacune des deux rives, les cannibales ne peuvent pas être plus nombreux que les missionnaires.


Il s’agit du problème archi-classique de la traversée du désert publié en 1947 American Mathematical Monthly et Mathematical Gazette et repris par Martin Gardner dans l’un de ses ouvrages (My best mathematical and logic puzzles).

Le désert a L kilomètres de longueur et il n’y a pas une seule station d’essence sur tout le trajet. On dispose d’un véhicule qui a un réservoir et des bidons d’appoint d’une capacité globale de C litres pour une consommation de c litres aux 100 kilomètres. Au départ, il y a une station qui délivre du carburant à volonté et il est possible de stocker des réserves de carburant à n’importe quel endroit du trajet (sans risque de vol ou d’évaporation du carburant !).

* Pour L=1400 kilomètres, C=105 litres et c=10 litres/100km, quelle est la consommation minimale requise pour traverser le désert ? Quelle est la distance parcourue ?

* Mêmes questions que ci-dessus pour L=1680 kilomètres, C=105 litres et c=10 litres/100km.

* Si l’on suppose qu’on a l’éternité devant soi et que la station a de très abondantes réserves, y-a-t-il une limite à la longueur du désert à traverser ? Combien de jours (de semaines…) faut-il pour traverser un désert de L kilomètres, à raison de 1000 kilomètres par jour ? Exemple : L=5000 kilomètres.

* Pour L=1500 kilomètres, C=100 litres et c=10 litres/100km, quelle sont la consommation minimale de carburant et la distance parcourue pour faire la traversée aller et retour sachant qu’il n’y a toujours pas de station d’essence de l’autre côté du désert.


Dans cette tour, l’architecte pour le moins original a fait installer un ascenseur qui est en mesure de servir tous les étages mais aussi bien dans la cabine que sur les paliers il n’y a que deux boutons pour le faire marcher ou l’appeler. Si l’ascenseur se trouve au niveau N, le bouton H (haut) fait monter l’ascenseur au niveau N+8 si N+8 est inférieur ou égal au nombre total d’étages dans la tour. Sinon, l’ascenseur ne bouge pas. Et il y a un bouton B (bas) qui fait descendre l’ascenseur du niveau N au niveau N-11 si bien entendu N est au moins égal à 11.Sinon, l’ascenseur reste immobile…. On sait par ailleurs que si l’immeuble avait eu un étage de moins, la programmation de cet ascenseur n’aurait pas permis de servir tous les étages.

* Quelle est la hauteur de la tour ?

* L’ascenseur est au rez-de-chaussée et vous habitez le 11 ème étage. Combien d’étages allez-vous parcourir avant de rejoindre votre appartement ?

* L’architecte aurait-il pu envisager des programmations plus rapides toujours avec deux boutons H et B ?


Dans une région, les trois moyens de transport publics :avion, train et bus sont utilisés pour réaliser les liaisons entre les principales villes. Il apparaît que :

* deux villes sont reliées par un seul moyen de transport.

* pas une seule ville n’utilise les trois moyens de transport

* il n’y a pas trois villes qui sont reliées entre elles par le même moyen de transport.

Quel est le plus grand nombre possible de villes dans cette région ?


Combien de points d’intersection ont les diagonales d’un polygone convexe à n côtés sachant que trois diagonales quelconques ne sont jamais concourantes.


La société Zéro-Wikend qui opère dans un pays qui ne connaît pas encore le code du Travail, a proposé à ses employés qu’en contrepartie de la suppression des jours du samedi et dimanche comme jours fériés, le jour anniversaire de chacun des employés sera jour de congé pour toute la société. Combien la société Zéro-Wikend a –t-elle embauché d’employés afin de rendre maximum le nombre total de jours ouvrés (c’est à dire le produit du nombre d’employés par le nombre de jours travaillés dans l’année par chaque employé) ?

Nota : on admet qu’il y a 365 jours par an et que chaque jour de l’année a même probabilité que les autres d’être un jour anniversaire.


Trois points sont choisis au hasard sur la circonférence d’un cercle de rayon 1 selon une loi de distribution uniforme. Quelle est l’espérance mathématique de l’aire du triangle dont les trois points sont les sommets.


Le coffre-fort de la banque Assurétourisk est protégé par un système de cartes magnétiques. Chacune d’elles comporte tout ou partie d’un code à N caractères nécessaire pour l’ouverture du coffre. Seul le directeur de la banque dispose de la carte magnétique complète. En son absence, le directeur adjoint peut ouvrir le coffre à condition que sa carte et celle de l’un quelconque des quatre fondés de pouvoir de la banque puissent y être introduites. Si le directeur et son adjoint sont absents, il faut les cartes de trois quelconques des fondés de pouvoir pour y accéder.

Quel est la plus petite valeur possible de N ?

Malgré ces précautions, la banque fait l’objet d’un cambriolage. Elle décide qu’en plus du directeur toujours détenteur d’une carte magnétique complète, il y aura deux adjoints et cinq fondés de pouvoir qui seront détenteurs de cartes magnétiques incomplètes de telle sorte que :

* les deux directeurs adjoints,

* ou bien l’un des adjoints avec l’un quelconque de cinq fondés de pouvoir,

* ou bien quatre fondés de pouvoir parmi les cinq,

peuvent ouvrir le coffre.

Quel est la plus petite valeur possible de N ?


Diophante revient du Bourbonnais où les poules ont la réputation de pondre des œufs qui ont la coquille si dure que, paraît-il, certains œufs lancés du 2 ème étage de la Tour Eiffel restent intacts.

Il dispose d’une boîte de 6 œufs et souhaite mesurer leur résistance en les lançant du haut des différents étages de la tour qu’il occupe à Paris.

On fait les hypothèses suivantes :

* les 6 œufs ont été pondus par la même poule et ont le même degré de résistance,

* le degré de résistance des œufs est mesuré par le premier numéro strictement positif de l’étage de l’immeuble auquel et au delà duquel ils s’écrasent tous pour donner une omelette bourbonnaise,

* un œuf lancé d’un étage quelconque et resté intact peut être récupéré par Diophante mais sa résistance au choc est profondément altérée,

Diophante fait le meilleur choix possible des étages d’où il lance ses œufs pour en mesurer le degré de résistance. C’est le dernier œuf lancé du dernier étage de la tour qui se casse et Diophante a la certitude que ses œufs ne se cassent pas entre le 1 er et l’avant-dernier étage. Quelle est la hauteur de la tour occupée par Diophante ?


C’est une variante du problème très connu et maintes fois repris par les revues de récréations mathématiques et logiques des « 40 femmes infidèles » ou des « 40 cocus de Bagdad » dans lequel le 40 ème jour tout se termine par le massacre de 40 femmes par leurs maris qui ont attendu ce jour pour découvrir leur infidélité.

Voici cette variante beaucoup moins sanguinaire:

« Il y a plusieurs siècles dans le village de Virtuix, le barde annonce qu’il y a des femmes infidèles. Il ajoute que tout homme trompé a le droit et le devoir de répudier sa femme et de l’envoyer avant le coucher du soleil au gynécée du chef-lieu de canton dès qu’il peut prouver sons infidélité. Tous les maris trompés disposent de 60 jours, pas un de plus, pour apporter les preuves des turpitudes de leur épouse et mettre à exécution la répudiation. Au delà de ce délai, ils ne pourront qu’adhérer à l’Association des maris trompés. »

Il convient d’ajouter que dans le village de Virtuix où les rumeurs circulent vite :

* chaque homme est au courant du comportement de toutes les femmes sauf de la sienne,

* il n’y a pas de délateur,

* tous les habitants sont légalistes et suivent les prescriptions du barde et de surcroît ils sont d’excellents logiciens.

Le lendemain matin de cette proclamation, la nouvelle circule qu’il ne s’est rien passé au coucher du soleil. Deux jours après… Trois jours après, toujours rien… « C’est incroyable, dit-on à mots à peine couverts. »

Cinquante neuf jours après, toujours rien. Soixante jours après, calme plat. Le soixante et unième jour, on enregistre 61 adhésions à l’Association des maris trompés. Pourquoi ?


Diophante réunit Hippolyte, Théophile et Hippatie et leur montre cinq dossards, trois blancs et deux noirs. Puis il leur dit : » Je vais attacher un dossard sur le dos de chacun d’entre vous, sans vous en montrer la couleur. Chacun de vous verra la couleur des dossards des deux autres. Bien entendu, il vous est interdit de communiquer entre vous. Le premier qui viendra me dire la couleur de son dossard aura mes félicitations.

Trois scénarios distincts peuvent se produire :

* Au bout d’une demi-seconde, Hippolyte proclame : « Je connais la couleur de mon dossard ». Puis une seconde après Théophile et Hippatie réagissent en chœur pour proclamer la couleur de leur dossard.

* Au bout de trois secondes, Théophile affirme qu’il connaît la couleur de son dossard, puis c’est le tour d’Hippatie et c’est Hippolyte qui donne sa réponse en dernier.

* Au bout de dix secondes, les trois amis proclament en chœur la couleur de leur dossard. Quelle est la couleur du dossard de chacun d’eux ?

Pour chacun des trois scénarios, quelles sont les couleurs annoncées par les trois amis ?

Diophante décide de compliquer les choses. Il met les trois amis en file indienne, Hippatie en tête, puis Théophile et enfin Hippolyte et leur demande de deviner la couleur de leur dossard. Hippolyte qui voit les dossards de Théophile et d’Hippatie placés devant lui, se déclare incapable d’annoncer la couleur. Théophile qui voit le dos d’Hippatie avoue également son ignorance et c’est Hippatie qui ne voit rien qui annonce tranquillement : « Je connais la couleur de mon dossard ». Quelle est la couleur du dossard d’Hippatie ?


Diophante place des dossards de couleur blanche ou noire dans le dos de douze de ses étudiants A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L. Chacun d’eux ignore la couleur du dossard qu’il porte mais est capable d’identifier la couleur des autres dossards. Leur objectif est de déterminer la couleur du dossard qu’ils portent. Diophante leur a fixé les règles suivantes :chacun à tour de rôle A, puis B, puis C, puis D….puis à nouveau A,B,C,… peut:

* soit indiquer la couleur du dossard qu’il porte. Si la couleur est la bonne, tous les autres étudiants devront s’exprimer en indiquant la couleur de leur propre dossard. Si la couleur mentionnée par l’un quelconque d’entre eux n’est pas la bonne, la partie est perdue pour tout le monde

* soit prononcer les chiffres 0 ou 1

* soit se taire.

Quelle est la stratégie qui permet aux douze étudiants d’annoncer le plus rapidement possible la couleur respective de leurs dossards ? Quel est le dernier à s’exprimer ?


Dans cette variante du jeu de Nim, trois joueurs prennent à tour de rôle des jetons d’un seul et même tas, le perdant étant celui qui ramasse le dernier jeton ou est empêché de jouer. A chaque tour, un joueur peut prendre un ou deux ou trois jetons mais jamais le même nombre que celui retenu par son adversaire au tour précédent.

Si le tas comporte initialement 50 jetons, y a-t-il une stratégie gagnante pour le joueur qui joue le premier ? Peut–on généraliser et définir une stratégie gagnante pour le premier joueur avec N jetons ?


Diophante et Hippolyte ont chacun deux familles nombreuses de trois garçons et de trois filles. L’âge de chaque enfant est arrondi à l’entier le plus proche.

Diophante : « La somme des âges de mes filles est égale à la somme des âges de mes garçons »

Hippolyte : « Moi aussi »

Diophante : « La somme des carrés des âges de mes filles est égale à la somme des carrés des âges de mes garçons »

Hippolyte : « Moi aussi »

Diophante : « Une de mes filles a l’âge de l’un de tes garçons »

Hippolyte : « Moi aussi »

Diophante : « Mon plus jeune enfant est une fille »

Hippolyte : « Moi aussi, c’est la plus jeune des six »

Diophante : « J’ai 30 ans »

Hippolyte : « Moi aussi »

Diophante : « Je n’ai pas de jumeaux »

Hippolyte : « Moi non plus »

Diophante : « La somme des âges de nos enfants est égale à la somme de nos âges. »

Hippolyte : « Ma femme est enceinte »

Diophante : « Déjà ? Hippolyte, tu exagères, elle vient d’accoucher »

Trouver dans l’ordre croissant l’âge des garçons de Diophante.

Nota : on admet que l’âge d’un enfant s’exprime sous la forme d’un entier n 0 lorsque l’enfant a n années accomplies.


Diophante et son ami Hippolyte ont cet étrange dialogue :

* Trouve un entier N à 6 chiffres dont 5 chiffres sont pairs et dont la racine carrée est constituée uniquement de chiffres pairs.

* Je ne peux pas répondre car les nombres qui ont ces caractéristiques sont nombreux.

* Tu as raison mais sache que si je t’indiquais la position du chiffre impair dans N, tu pourrais me répondre.

* Laisse moi réfléchir quelques minutes…Je peux effectivement répondre. Il s’agit de..

Quelle est la réponse d’Hippolyte?


Diophante annonce qu’il a choisi deux nombres entre 2 et 21. Il donne la somme à Sébastien et le produit à Pierre. Quels sont ces nombres, demande-t-il ?

Sébastien : Je ne peux pas les déterminer.

Pierre : Moi non plus

Sébastien : Alors je connais les deux nombres.

Pierre : Maintenant, moi aussi.

Quels sont ces deux nombres ?


Diophante tend à Hippolyte un papier sur lequel figure un nombre qui est le produit de deux entiers et à Théophile un autre papier sur lequel figure la somme de ces deux entiers. Il précise que les deux entiers sont compris entre 2 et 9.

Hippolyte : Je ne peux pas les déterminer

Théophile : Dans ce cas, je les connais.

Hippolyte : Je ne sais toujours pas les trouver.

Théophile : Je te précise qu’ils sont différents

Quels sont ces deux nombres ?


Trouver la ou les règles qui permettent de générer les séquences ci-après :

Séquence n°1 :

2,3,3,5,10,13,39,43,172,177,…

Indication : combiner + et *

Séquence n°2 :

0, 510, 1, 0, 101, 9,0, 1, 0, 509,….

Indication : en souvenir d’Obelix, il y a du « romain » dans les parages.

Séquence n°3 :

1,2,2,3,3,4,4,4,5,5,5,6,6,6,6,7,7,7,7,8,8,8,8,9,9,9,9,9,….

Indication : moins compliqué qu’un décompte d’apothicaire.

Séquence n°4

1,3,7,12,18,26,35,45,56,69,83,….

Indication : il faut savoir apprécier les différences.

Séquence n°5

3,4,1,5,4,5,1,6,5,14,9,11,2,…

Indication : ne pas hésiter à tourner en rond….


Quels sont les trois nombres qui prolongent logiquement la séquence ci-après :

1, 3, 5, 6, 8, 10, 18, 20 ,23, 25, 26, 28, ?, ?, ?

Nota : ne pas oublier de bien lire le titre même s’il paraît barbare !


Quel est le nombre qui se substitue au ? dans la séquence suivante :

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 22, 24, ? ,100, 121, 10000


Quel est le nombre qui suit chacune des séquences ci-après ?

S1 = 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11,…

S2 = 1, 3, 5, 6, 8, 10, 12, ..

S3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 25, 28,…

S4 = 2, 5, 8, 10, 13, 16, 19, 21,…

S5 = 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14,…

Nota : toutes ces séquences ont une parenté certaine qu’il s’agit de découvrir.


Quel est le nombre suivant dans la série 1,2,3,5,10,19,20,30,1000 ?


Trouver deux nombres entiers à cinq chiffres chacun qui utilisent les dix chiffres de 0 à 9 une fois et une seule et dont le quotient est respectivement égal à 2,3,…. ,9


On considère les entiers naturels commençant par 4 chiffres ABCD et se prolongeant par les entiers à 4 chiffres de la forme BCDE,CDEF,DEFG,….ou à 3chiffres si B est nul dans BCDE ou si C est nul dans CDEF….. tels que chacun d’eux soit un multiple d’un même nombre premier p.

Quelles sont les séquences les plus longues pour p = 11, 13, 17, 19,23,29,31,37 ? Quelles séquences aboutissent à des boucles ?


Sachant que 34 ! s’écrit avec 39 chiffres: 295232799 cd96041408476186096435 ab000000, que valent a, b, c, d ?


Trouver le plus petit entier positif N tel que la somme de ses diviseurs est plus grande que lui et qu’il n’existe aucun sous-ensemble de diviseurs dont la somme est strictement égale à N.


Existe-t-il un entier N à 8 chiffres tel que son premier chiffre est le reste de sa division par 2, son 2 ème chiffre est le reste de sa division par 3,…son k-ième chiffre est le reste de sa division par k+1 pour k variant de 2 à 8 ?


Quels sont les plus petits entiers naturels m et n dont le rapport m/n donne une approximation à 9 décimales de 0,123456789 ?


Question n°1 :Existe-t-il un entier qui est le cube d’un nombre entier et dont les 2004 derniers chiffres sont exclusivement des 1 ?

Question n°1 :Existe-t-il un entier qui est un multiple de 2004 et qui est constitué par une suite de chiffres 1 suivie d’une suite de chiffres 0 ?


Il est bien connu que Saint Georges a terrassé de terribles dragons. Ce que la légende ne dit pas c’est qu’il a dû affronter un dragon plus terrible que les autres car il avait plusieurs têtes et plusieurs queues. D’un coup d’épée, Saint Georges pouvait couper soit une deux têtes soit une ou deux queues. Mais le dragon avait des pouvoirs magiques : lorsque le saint lui coupait seulement une tête, il en repoussait une autre. En revanche, avec deux têtes coupées d’un seul coup d’épée, rien ne repoussait. Enfin, pour une queue coupée, il en repoussait deux et pour deux queues coupées d’un coup, une tête repoussait. Le saint n’avait pu venir à bout de l’horrible bête que lorsque le dragon n’avait plus ni queue ni tête.

Question n°1 :Saint Georges a dû affronter un dragon à trois têtes et à trois queues. Comment a-t-il fait pour tuer le dragon en économisant ses forces ?

Question n°2 :Saint Georges aurait-il pu affronter un dragon immortel ?

Question n°3 :Quel est le nombre minimum de coups d’épée que Saint Georges aurait dû donner pour tuer un dragon à n têtes et m queues ?


J’écris les entiers naturels de 1 à 12 sur une feuille. J’efface deux entiers a et b de la liste que je remplace par a + b + ab et je poursuis cette opération jusqu’à ce qu’il reste un seul nombre. Quel est le plus petit et quel est le plus grand des nombres finaux que je peux obtenir ?


Trouver un nombre entier composé N (c’est à dire non premier) qui a la propriété suivante : pour chaque diviseur positif d de N, d+1 est diviseur de N+1.


C’est un problème très classique et selon le côté de l’Atlantique, les différentes revues ou sites Internet de récréations mathématiques donnent la version à 10,01 € et celle à 7,11 $. Les montants de la fausse facture différent mais c’est rigoureusement le même problème.

Voici son énoncé : Jean alias John fait ses emplettes dans un magasin de bricolage où il passe à la caisse avec 4 objets. Il remarque que la caissière un peu étourdie enfonce chaque fois la touche x de la multiplication au lieu de la touche + de l’addition. Lorsque le résultat de 10,01 € (version européenne) / 7,11 $ (version US) apparaît, Jean alias John lui fait part de son désaccord. Elle recommence l’enregistrement en appuyant cette fois-ci sur la touche + de l’addition. A sa grande surprise, le total est toujours de 10,01 € vs 7,11$. Quel est le prix des quatre objets ?


Problème n°1

Au milieu du printemps, on installe des bœufs dans un pré où l’herbe est à une certaine hauteur que l’on suppose uniforme sur toute la superficie du pré. On suppose que l’herbe continue à pousser de façon régulière et uniforme pendant toute la durée du pacage. Les bœufs mangent tous la même quantité d’herbe par jour et peuvent être nourris pendant plusieurs mois. Si deux fois plus de bœufs sont installés, la durée du pacage est divisé par trois.

Que se passerait-il si l’on triple le nombre de bœufs ? si on réduit le nombre de bœufs de 25% ?

Problème n°2

Un troupeau de 80 vaches, 90 veaux et 100 moutons est installé le même jour dans un prairie de 30 ha. Comme dans le problème n°1 on admet qu’à l’entrée des bêtes dans la prairie, la hauteur de l’herbe est uniformément la même et que pendant la durée du pacage, l’herbe continue de pousser de façon uniforme sur toute la surface de la prairie.

Cette prairie est divisée en cinq enclos selon la durée programmée du pacage :

* dans le premier enclos de 10 ha, il est prévu de faire paître 30 vaches, 25 veaux et 10 moutons pour une durée de 125 jours jusqu’au retour à l’étable,

* dans le deuxième enclos d’une surface de 6 ha, 20 vaches et 40 moutons pourront brouter toute l’herbe pendant 100 jours avant d’être nourris avec du fourrage.

* le troisième enclos de 3 ha reçoit 10 vaches et 10 veaux pour une durée de 75 jours avant d’être vendus à la grande foire de Saincoins,

* 20 moutons et 10 veaux sont destinés à brouter toute l’herbe d’un enclos de 2 ha pendant 50 jours avant de partir à l’abattoir..

Pendant combien de temps est-il prévu de garder le reste du cheptel dans le cinquième enclos?

Si tout le cheptel avait été mis dans la prairie sans qu’elle soit divisée en pâturages distincts, pendant combien de temps aurait-il pu brouter la prairie sans apport de fourrages ?


Il est minuit. Quelle heure sera-t-il quand les trois aiguilles de l’horloge se croiseront pour la 1436 ème fois ? pour la 2004 ème fois ?

On suppose que lorsque les trois aiguilles sont confondues à minuit et à midi, il n’y a qu’un seul croisement.


Quel est le plus petit entier tel que son double est un carré parfait, son triple est un cube et multiplié par 5, c’est une puissance d’ordre 5 ?


Les trois aiguilles des heures, minutes et secondes se rencontrent deux fois par jour à midi et à minuit. A quelle heure de la journée entre 13 heures et 23 heures, les trois aiguilles sont-elles les plus proches les unes des autres ?

(les plus proches signifiant que l’angle qui les contient toutes les trois est le plus petit possible).


Les participants d’un congrès sont rassemblés dans un amphithéâtre. Trois langues sont utilisées : le français, l’allemand et l’anglais. Tout participant connaît au moins une de ces langues.

Un interprète statisticien constate que :

* un cinquième au plus des francophones pratiquent l’allemand tandis qu’un tiers au moins de ces mêmes francophones parlent l’anglais.

* un septième au plus des germanophones parlent l’anglais et un huitième au moins est familier du français.

* un treizième au plus des anglophones pratiquent le français tandis qu’un dix-neuvième au moins parlent l’allemand.

Quel est le nombre minimal de participants compatible avec toutes ces observations ?


Peut-on avoir les trois aiguilles d’une horloge qui font entre elles un angle de 120° de telle sorte que chacune d’elles puisse être considérée comme la bissectrice de l’angle formé par les deux autres ?


Deux diligences partent au même moment à la rencontre l’une de l’autre de deux auberges A et B séparées par une distance de 100 kilomètres. Un vent fort souffle dans la direction de B vers A. La diligence partie de A progresse à l’allure de 10 kilomètres à l’heure tandis que la seconde partie de B aidée par le vent a une allure de 15 kilomètres à l’heure. Au moment où la première diligence quitte l’auberge A, une mouche qui était sur le coche s’envole vers B à la vitesse de 20 kilomètres à l’heure. Dès qu’elle rencontre B, elle fait demi-tour à la rencontre de A et poussée par le vent sa vitesse est portée à 30 kilomètres à l’heure. Et ainsi de suite jusqu’à ce que les deux diligences se croisent.

Quelle est la distance parcourue par la mouche ? Comparer cette distance à celle parcourue par une deuxième mouche partie de B et volant aux mêmes vitesses que la 1ère mouche.


Un certain matin du mois de décembre, il se met à neiger. La neige va tomber de manière régulière pendant toute la journée. A midi, un chasse-neige commence à dégager la route à un rythme constant en termes de volume de neige déblayée à l’heure. A 2 heures de l’après-midi, 2 kilomètres de route ont été dégagés et deux heures plus tard, un kilomètre supplémentaire seulement.

A quelle heure la neige a-t-elle commencé de tomber ?


A quelle heure ( au dixième de seconde près), après midi, l'aiguille des heures et la troteuse ( des minutes) font un angle plat?


Il y a plusieurs siècles, une bande de 2004 voleurs fut arrêtée parmi lesquels se trouvait le fils du roi. Ils furent jetés en prison avec un matricule pour chacun, le fils du roi le numéro 1et le chef de bande portant le numéro 2. Après un procès plus qu’expéditif, ils furent condamnés à la pendaison mais le roi décida une mesure de clémence faite sur mesure pour son fils. « Demain, proclama-t-il, tous les prisonniers portant leur matricule sur le dos seront transférés dans la cour de la prison et placés sur les 2004 sommets d’un polygone régulier spécialement tracé à cette occasion. Je partirai du numéro 1 qui sera libéré (comme par hasard !) puis je compterai 1 sommet dans le sens des aiguilles d’une montre et le prisonnier qui se trouve placé à ce sommet sera libéré. Partant du matricule k affiché par cet homme, je compterai k sommets toujours dans le sens des aiguilles d’une montre et je désignerai ainsi un troisième prisonnier qui sera libéré et ainsi de suite…mais si dans mes comptages successifs, j’arrive à un sommet vide car le prisonnier qui s’y trouvait a été libéré, alors tous les prisonniers restants seront pendus.

Le chef de bande qui n’était pas sot cogita une bonne partie de la nuit et le lendemain matin il fit en sorte que les prisonniers puissent se placer sur les sommets du polygone selon un ordre qu’il avait soigneusement calculé. Tous les prisonniers y compris lui-même furent libérés. Comment a-t-il fait ? Quand fut-il libéré ?


1) Placer cinq reines sur un échiquier 8x8 de telle sorte que chaque case de l’échiquier y compris celles qu’elles occupent soit contrôlée par au moins l’une d’entre elles.

2) Placer cinq reines sur un échiquier 8x8 de telle sorte que chaque case de l’échiquier à l’exclusion de celles qu’elles occupent soit contrôlée par au moins l’une d’entre elles.


Comment placer seize cavaliers blancs sur un jeu d’échecs traditionnel 8x8 de telle sorte que chaque cavalier soit en prise avec exactement quatre autres cavaliers ?


Trois explorateurs sont dans leur camp de base. Ils disposent de rations alimentaires individuelles journalières sous forme de sacs hermétiques. Ils décident d’aller photographier un site archéologique situé en pleine jungle à 7 jours de marche de leur camp de base. La durée de l’expédition ne doit pas dépasser 14 jours. Un seul d’entre eux ira jusqu’au bout faire les photographies. Ils peuvent éventuellement déposer les rations aux points prévus pour les bivouacs. Chacun d’eux ne peut porter à la fois plus de 8 rations alimentaires. Lorsqu’ils se trouvent au camp de base, ils n’utilisent pas leurs rations.

Combien de rations au minimum doivent-ils dépenser pour revenir dans une forme normale au camp de base après avoir mangé à leur faim.

Combien de rations supplémentaires faut-il prévoir si le site se trouve non pas à 7 mais à 8 jours du camp de base ?


Un planteur de bananes ne dispose que d’un vieil éléphant pour transporter ses bananes. L’animal consomme une banane au kilomètre et n’accepte de porter que 1000 bananes au plus sur son dos.

Le plus proche marché se trouve à 1000 kilomètres de la plantation.

* La production est de 5000 bananes. Combien de bananes au maximum, ce planteur pourra-t-il mettre en vente sur le marché ? Quel est le coefficient de perdition (bananes consommées par l’éléphant/bananes produites) ?

* Mêmes questions avec 10000 bananes.

* Mêmes questions avec 25000 bananes.

* Que peut-on en conclure sur le coefficient de perdition si le nombre de bananes à transporter devient très grand ?


Peut-on dessiner dans le plan :

* Six triangles équilatéraux de façon que chaque sommet appartienne à deux triangles mais aucun côté n’appartient à deux triangles ?

* Un ensemble fini de carrés égaux de telle façon que chaque sommet de chaque carré coïncide avec le sommet d’un autre carré ?

* Un graphe ayant le minimum de sommets et dans lequel chaque sommet est relié à exactement trois autres sommets.


On considère un alphabet réduit aux deux lettres a et b. Il y a donc mots possibles de longueur n. Par exemple, les mots de 2 lettres sont aa, ab, ba et bb. Il est facile de trouver un mot de 5 lettres tel que si on le lit de gauche à droite, toutes les « syllabes » à 2 lettres apparaissent. C’est ainsi qu’en lisant aabba, on obtient respectivement aa, ab, bb et ba.

Trouver un mot de 19 lettres qui permet la lecture de gauche à droite de toutes les « syllabes » à 4 lettres.


Depuis la rentrée scolaire, Diophante n’a pas arrêté une minute : une interrogation écrite quotidienne ,7 jours sur 7 ! La note qu’il obtient est un nombre entier compris entre 0 et 20 (bornes incluses). A partir du 1 er novembre, il a pu dire chaque jour à ses parents : « Ma note aujourd’hui est meilleure que celle d’il y a trois jours mais il est vrai qu’elle est moins bonne que celle que j’avais obtenue il y a deux semaines jour pour jour ».

Jusqu’à quand a-t-il pu tenir ce langage à ses parents sans être obligé de mentir ? Sachant qu’il n’a jamais obtenu 20, ni de notes inférieures ou égales à 2, quand a-t-il obtenu ses meilleures et ses moins bonnes notes ?


On appelle chaîne de puissances d’ordre n une permutation des n premiers nombres entiers (0 exclu) telle que la somme de deux termes adjacents quelconques soit toujours une puissance d’un nombre entier (4,8,9,16,25,27,etc ..)

Par exemple 6,2,7,1,3,5,4 est une chaîne de puissance d’ordre 7.

Trouver la ou les chaînes d’ordre n pour n=8,9,10,11,12,13,14,15,16.

Qu’en est-il pour les valeurs de n supérieures à 16 ?


Dans ce jeu, Diophante qui en est le meneur choisit un nombre X inférieur ou égal à un entier N fixé à l’avance et d’un commun accord avec son ami Hippolyte.

Le but du jeu est de faire deviner X par Hippolyte. Avant de commencer, ce dernier dispose d’un capital de points K égal à 7. Il pose des questions en indiquant un nombre Y et Diophante répond en indiquant si Y est le bon nombre ou s’il est trop grand ou s’il est trop petit. A chaque question posée, Hippolyte perd un point de son capital. Si le nombre Y est plus grand que X, il perd deux points. Hippolyte gagne la partie s’il trouve le bon nombre avec un capital de points positif ou nul . Les deux amis fixent d’un commun accord N=34.

Hippolyte a-t-il eu raison d’accepter ce nombre ? A-t-il une stratégie gagnante à 100%?

Généralisation : pour tout K, définir une stratégie gagnante à 100% en fonction de n.


Un postier est placé devant le dilemme suivant :

* coller quatre timbres au maximum sur une enveloppe en choisissant ces timbres parmi cinq valeurs entières possibles,

* coller cinq timbres au maximum sur cette enveloppe en choisissant les timbres parmi quatre valeurs entières possibles.

Quel est le mode d’apposition des timbres qui lui permet de réaliser le nombre maximal d’affranchissements sans trou, c’est à dire pour toutes les valeurs entières de 1 à n. Quel est l’ensemble de timbres le moins coûteux possible qu’il retient ?


Un dessinateur possède une règle graduée en centimètres de longueur 15 centimètres et dont les divisions sont effacées à l’exception des deux extrémités qui donnent 0 et 15 et de n divisions situées dans l’intervalle ]0,15[. Quelle est la valeur minimale de n qui permet de mesurer toutes les longueurs possibles entre 1 et 15 centimètres ? Combien y a-t-il de configurations possibles de la règle? Donner l’une d’entre elles.

Même question pour deux règles de 22 centimètres et de 29 centimètres. Décrire toutes les configurations possibles. En déduire une méthode simple pour évaluer la valeur de n avec une règle de 50 centimètres.


Diophante et Hippolyte ont chacun une très vieille pièce de monnaie. L’une et l’autre sont loin d’être parfaites et les probabilités d’obtenir Pile sont respectivement p (pour celle de Diophante) et q (pour celle d’Hippolyte) avec p et q 1/2.On admet que les probabilités d’obtenir Face sont respectivement 1-p et 1-q.

Ils lancent plusieurs centaines fois de suite et simultanément leur pièce de monnaie et ils notent le résultat de chaque lancer. Par exemple avec huit lancers : PP, PF, FP, FF, FF, PF, PF, FF, PP. La 1 ère lettre désigne le résultat de Diophante et la 2 ème celui d’Hippolyte.

En bons statisticiens qu’ils sont, ils en tirent les conclusions suivantes :

1) la probabilité pour que Diophante obtienne Pile avant* Hippolyte est égale à 3/5.

2) l’espérance mathématique du nombre de lancers à l’issue desquels ils obtiennent Pile-Pile simultanément pour la première fois, est un nombre entier A.

3) l’espérance mathématique du nombre de lancers à l’issue desquels ils obtiennent Face-Face simultanément pour la première fois, est un nombre entier B.

En déduire la probabilité pour qu’Hippolyte obtienne Face avant Diophante.

* Cela signifie que lorsque Diophante obtient Pile au kème lancer pour la 1ère fois, Hippolyte obtient Face au cours de tous les lancers successifs jusqu’au kème lancer inclus.


Deux équipes de volley-ball A et B sont à égalité 19-19.On suppose que :

* la probabilité de gain d’un échange est p pour A et q=1-p pour B pour l’ensemble des échanges réalisés jusqu’à la fin de la partie

* les résultats des échanges successifs sont indépendants les uns des autres.

Quelle est la probabilité que la partie se termine par le score de 21-19 selon que A ou B sert la balle à l’issue du score de 19 partout ? Analyser le cas particulier p = q = 1/2.

Nota : On rappelle que pour obtenir un point il faut avoir servi la balle et que l’équipe qui a réussi une échange gagnant, soit marque un point parce qu’elle servait la balle soit gagne le droit de servir la balle pour l‘échange suivant.


Le yam est un jeu qui se joue avec cinq dés à 6 faces. Un yam est obtenu quand les 5 dés montrent la même face. On est autorisé à lancer les dés trois fois. Aux 2 ème et 3 ème lancers, on peut reprendre tout ou partie des dés qui ont été précédemment jetés. En supposant que le seul objectif est d’obtenir un yam, quelle est la probabilité de réussir ?


Les entreprises cotées sur les marchés financiers sont soumis depuis plusieurs années à des règles de plus en plus strictes de bonne « gouvernance ». La société Aristokratia fait du zèle dans ce domaine. Son conseil d’administration est composé de 15 membres. Traditionnellement sont rattachés à ce conseil deux ou trois comités tels que le comité d’audit, le comité des rémunérations, le comité stratégique,… Le président du conseil d’Aristokratia qui veut être le modèle par excellence a proposé de créer 20 comités avec les règles suivantes qui sont de pratique courante:

* chaque membre du conseil participe à 4 comités distincts,

* chaque comité est composé de trois membres,

* il n’existe pas deux comités ou plus qui ont deux membres communs.

Le Président qui n’est pas un fervent de récréations mathématiques a bien du mal à composer ces 20 comités. Pouvez vous l’aider ? S’il n’y a pas de solution, démontrer que c’est impossible.


On écrit les 8 premiers nombres entiers dans l’ordre croissant : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. On veut les réarranger dans l’ordre décroissant 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 en adoptant la règle suivante :

Deux chiffres quelconques peuvent être mutés à condition qu’après échange l’écart entre chacun des deux chiffres et les (ou le) chiffre(s) voisins n’excède pas 3.Par exemple ,dans la séquence initiale, on peut échanger 2 et 4 car la séquence 1,4,3,2,5,6,7,8 obéit à la règle. A l’inverse on ne peut pas échanger 2 et 5 car dans la séquence 1,5,3,4,2,6,7,8 l’écart entre 1 et 5 commet celui entre 2 et 6 sont égaux à 4 et dépassent 3.

Comment réaliser la nouvelle séquence décroissante en un minimum d’échanges ?


On suppose que tous les points du plan sont peints soit en bleu soit en rouge. Démontrer qu’il existe :

* au moins un triangle équilatéral dont les sommets ont la même couleur,

* au moins un rectangle dont les sommets ont la même couleur.

On suppose maintenant qu’ils sont peints des trois couleurs bleue, rouge et verte. Démontrer qu’en ouvrant au hasard un compas, les deux pointes peuvent être placées sur deux points de la même couleur.


Ce casse-tête est un succédané du jeu de taquin. Il est encore plus économique car il suffit d’une feuille de papier, d’un crayon et d’une gomme. On écrit sur N cases alignées sur un axe horizontal les nombres entiers consécutifs N,N-1,N-2,…..,4,3,2,1 dans l’ordre décroissant . Il s’agit de restituer ces mêmes entiers dans l’ordre croissant 1,2,3,….,N-1,N en utilisant la règle suivante :

On choisit un nombre k et on le déplace de k cases. Si on arrive en bout de chaîne avant d’avoir fini le déplacement, on poursuit à partir de la première case. A la fin du déplacement, le nombre occupe sa case d’arrivée et le nombre qui occupait précédemment cette case est transféré sur la case laissée libre par le nombre déplacé.

Exemple : on a la position suivante 6,8,2,7,1,4,5,3. On choisit de déplacer le chiffre 7. On compte 1,2,3 et 4 et on arrive en bout de chaîne. On compte 5,6,7 à partir de la première case et on arrive à la case occupée par le 2. D’où la nouvelle configuration 6,8,7,2,1,4,5,3.

Commencer le casse-tête avec les petites valeurs de n=2,3,4,5,6,7,8.. en essayant de minimiser le nombre de déplacements. Trouver une loi générale donnant le nombre minimal de déplacements pour remettre en ordre croissant la séquence des entiers N à 1 écrits en ordre décroissant.


On dispose de huit boîtes qui contiennent chacune six boules. Chaque boule a une seule couleur. Dans chacune des huit boîtes, les boules sont toutes de couleurs différentes et chaque couple de couleurs observé dans n’importe quelle boîte n’apparaît jamais plus d’une fois sur l’ensemble des boîtes. Quel est le nombre minimal de couleurs qui permet de réaliser une telle configuration ?


Dans une soirée mondaine où sont réunies N personnes, montrer qu’il y a au moins deux personnes qui connaissent la même nombre de personnes. Les relations mondaines sont symétriques : si Pierre connaît Paul, on suppose que Paul connaît Pierre. On suppose évidemment que l’adage grec « Connais toi toi-même » est exclu dans le décompte des connaissances…..


Une soirée réunit 20 couples. Après le dîner, l’une des convives s’ennuie et demande aux 39 autres personnes y compris son mari combien de poignées de mains elles ont données à leur arrivée. Elle obtient 39 réponses différentes.

Quelle a été la réponse de son mari ? De son côté combien de mains a-t-elle serrées?

Nota : on suppose que personne ne s’est amusé à serrer plus d’une fois la main d’un convive et que maris et femmes ne serrent pas la main…


Diophante choisit trois entiers a, b et c compris entre 1 et 99. Il donne à chacun de ses trois amis Hippatie, Hippolyte et Théophile un papier sur lequel il a inscrit chacun de ces trois nombres. Il leur précise que la somme de deux des trois nombres est égale à 25 et que le produit de deux d’entre eux est égal à 120. Puis il leur dit : « Chacun de vous a un nombre, qui peut me donner les deux autres? »

Les trois amis réfléchissent un moment, font leurs calculs dans leur tête. Silence. Puis au bout de quelques minutes, Hippatie annonce qu’elle a trouvé les deux nombres d’Hippolyte et de Théophile.

Quels sont les trois nombres choisis par Diophante ?


Diophante a un sac contenant dix autocollants marqués des dix chiffres de 0 à 9. Il en utilise six pour inscrire deux carrés parfaits de trois chiffres chacun sur le front de ses amis Hippolyte et Hypathie. Chacun d’eux voit le nombre de son voisin mais ignore le sien. Diophante demande à Hypathie : « Parmi les 4 autocollants qui restent dans mon sac, combien en connais tu exactement ? ».

Deux hypothèses :

* Hypathie lui répond : « Trois ». Diophante pose alors la même question à Hippolyte. Quelle est la réponse de ce dernier ?

* Hypathie répond : « Deux ». Hippolyte dit alors : « Je connais le nombre qui est sur mon front ».Hypathie renchérit : « Moi aussi désormais, je connais le mien ». Quels sont les deux nombres affichés sur les fronts d’Hippolyte et d’Hypathie ?


Tout le monde connaît ce problème qui a fait le tour de la Terre . Le curé dit à son bedeau : « Le produit des âges des trois personnes que nous venons de croiser est égal à 2450 et leur somme est égale au double de votre âge .Quels sont ces trois âges»? Le bedeau ne pouvant pas répondre, le curé vient à son secours en précisant qu’il est plus âgé que le plus âgé des trois. Dès lors on est mesure d’indiquer les cinq âges qui sont 50,32,49,7 et 7ans respectivement pour le curé, son bedeau et les trois personnes.

Diophante reprend la même idée et s’adressant à son ami Hippolyte à la sortie d’un amphi d’arithmétique pour les étudiants en 3 ème année à la faculté d’Alexandrie lui dit :

« J’ai trois neveux et le produit de leurs âges avec le tien est un multiple du produit de ces quatre âges calculé un an plus tôt. Peux–tu me dire quel âge ont-ils ? »

« Il m’est impossible de répondre, tu ne donnes même pas la valeur du multiple »

« La somme de leurs âges est le double de mon âge »

« Je ne peux toujours pas répondre car, je l’avoue, j’ai oublié ton âge»

« N’oublie pas que je suis plus âgé que toi.»

Hippolyte lui donne alors l’âge des trois neveux.

Quels sont ces âges et ceux de Diophante et d’Hippolyte ?

NB Tous les âges sont évidemment exprimés en années avec des valeurs entières. On suppose que la faculté d’Alexandrie recrutait à l’époque de Diophante des « bacheliers » qui avaient le même âge que ceux de la France de 2004…


On donne à chaque lettre de l’alphabet une valeur correspondant à son rang. Ainsi la lettre A vaut 1, la lettre B vaut 2,etc…. Trouver le plus petit nombre dont l’expression littérale coïncide avec la somme des valeurs des lettres contenues dans cette expression.


C’est un problème d’Al Hazen astronome arabe du début du XIème siècle : sur un billard circulaire une boule est placée en un point quelconque à sa surface. Dans quelle direction doit-elle être lancée pour qu’après deux rebonds sur la bande, elle repasse par son point de départ ? Faire une construction de la trajectoire de la boule avec une règle non graduée et un compas.


Soit un triangle ABC dont tous les angles sont aigus. A l’aide d’une règle non graduée et d’un compas, tracer le point P à l’intérieur du triangle dont la somme de ses distances aux trois sommets A,B et C est la plus petite possible.


1) Quel est le plus petit carré qui contient six cercles de diamètre unité sans chevauchement ?

2) Combien de cercles de diamètre unité peut-on placer au maximum sans chevauchement dans un carré 10 x10 ?


Une dalle rectangulaire est dite régulière si une de ses dimensions (longueur ou largeur) se mesure par un nombre entier (quelconque), l’autre étant un réel, là aussi quelconque. Montrer que si l’on peut paver un rectangle avec des dalles régulières jointives, ce rectangle a une de ses dimensions entière.


Un couturier dispose d’une étoffe de la forme d’un triangle équilatéral de 2 mètres de côté. Comment peut-il la découper en trois coups de ciseaux de manière à reconstituer un carré ?


Un ver pénètre par un point A dans une belle pomme rouge assimilée à une sphère de 5 cm de rayon et il en sort par un point B, la longueur du parcours AB est de 99 mm. Sachant que le parcours du ver n’est pas nécessairement rectiligne, trouver le coup de couteau qui partage la pomme en deux parties égales avec l’une des deux moitiés parfaitement saine.


On dispose d’un morceau de papier d’emballage de 1 mètre sur 1 mètre. Sans utiliser des ciseaux ou déchirer la papier, quel est le plus grand cube que l’on puisse emballer avec ce papier ?


Les calculettes les plus simples ont toutes les quatre opérations élémentaires : addition +, soustraction - , multiplication x et division /. L’une d’elles un peu mieux dotée a l’extraction de la racine carrée. Comment calculer avec cette dernière la racine cubique d’un nombre quelconque.

On suppose l’existence : 1° de deux mémoires distinctes pour le stockage des données intermédiaires (calculette de « luxe ») 2° d’une seule mémoire (calculette lambda).


Parmi 24 pièces d’apparence identique, l’une est plus lourde que les autres et une seconde est plus légère. En utilisant une balance Roberval à deux plateaux, trouver le nombre minimal de pesées pour déterminer si le poids total des deux pièces fausses est égal ou non au poids total de deux bonnes pièces.


On dispose d’une balance Roberval pour classer dans l’ordre croissant les poids de 5 objets différents. Quel est le nombre minimum de pesées pour y arriver ?


On dispose de 6 boules dont 2 rouges, 2 bleues et 2 noires. Pour chacune des couleurs il y a une boule de poids P et une boule de poids Q avec Q<P. Comment déterminer en deux pesées avec une balance Roberval à 2 plateaux, la nature des boules P et Q pour chacune des trois couleurs ?


Trouver le plus petit entier N dont la partition en six entiers distincts A, B, C, D, E et F ( c’est à dire A + B + C + D + E + F = N ) est telle que la somme de cinq de ces six entiers est toujours un carré parfait.


Deux personnes achètent un collier non fermé de perles de couleur blanche et noire qui comporte 2*a et 2*b perles de chaque couleur. Elles souhaitent couper le collier en deux ou plusieurs morceaux de façon à se partager en nombres identiques les perles blanches et les perles noires. Quel est le plus petit nombre de sections du collier qui garantit ce partage quelle que soit la configuration initiale des perles blanches et noires.

Que se passe-t-il si la partage s’effectue entre trois personnes, en supposant que le nombre total de perles de chaque couleur est divisible par 3? Entre p personnes ?


1) Trouver des nombres entiers tels que dans la représentation décimale de leur racine carrée, les chiffres après la virgule commencent respectivement par :

11, 111, 1111, 11111, etc ….

12, 123, 1234, 12345, etc …, 12356789

2) Trouver les entiers les plus petits possibles qui génèrent les séquences mentionnées ci-dessus.


Diophante participe en tant que spectateur à une course à Marathon où sont inscrits un très grand nombre de coureurs portant des dossards différents et inférieurs à 25000. Dix minutes après le départ, il dénombre le groupe de tête composé de 59 coureurs et il remarque avec étonnement qu’à l’exception du coureur de tête, le numéro de chaque coureur est égal à la somme des puissances 4 des chiffres du numéro du coureur qui le précède. Une heure après, ce groupe s’est complètement disloqué et la tête de course est réduite à 14 coureurs. La surprise de Diophante est encore très grande quand il observe que le numéro de chaque coureur (coureur de tête exclu) est égal à la somme des cubes des chiffres du numéro du coureur qui le précède.

Quel est le numéro du dossard du seul coureur qui est resté dans le groupe de tête ?


Existe-t-il des entiers qui peuvent s’écrire sous la forme d’une somme d’au moins deux carrés consécutifs de trois manières différentes ou plus?


Diophante se rend avec plusieurs amis au casino de Jocus-les-Bains qui vient de lancer un nouveau jeu dont les règles sont pour le moins originales. N personnes sont réunies autour d’une table et jouent N-1 parties de cartes. Au début de chaque partie, tout joueur encore présent mise une somme M ( nombre entier en €) versée à la banque. A l’issue de chaque partie, il y a un seul perdant qui, avant de quitter la table, distribue en parts égales aux autres joueurs la somme d’argent en sa possession . Le jeu s’arrête quand il n’y a plus qu’un seul joueur avec une somme T positive en poche.

Ce soir là, Diophante et chacun de ses amis commencent à jouer avec la même somme S qui est un multiple entier de la mise M. Diophante est l’heureux gagnant final. Mais il a des regrets. Si chacun était venu au casino avec une somme double 2S, la somme qu’il aurait empochée aurait été quatre fois plus grande.

Combien d’amis accompagnaient Diophante ?

On suppose que Diophante et ses amis ont choisi la somme S qui était le plus petit entier évitant la distribution de centimes d’euro par les perdants successifs. Trouver S et M.


Diophante, Hippolyte et Théophile se souviennent d’une bien sévère et pénible punition que leur avait infligée leur maître quand ils étaient à l’école primaire : recopier tous les nombres entiers 1,2,3,4,5,… les uns à la suite des autres pendant deux heures. Diophante s’était montré le plus rapide et à la fin de la punition, il avait rapidement calculé que le dernier nombre qu’il avait écrit était un multiple de l’entier N inscrit par Théophile le plus lent des trois. Il en était de même du nombre total de chiffres que Diophante avait écrits et qui était un multiple du nombre total NT de chiffres inscrits par Théophile. Et, étrange coïncidence, Hippolyte avait fait le même constat pour le dernier nombre et le nombre total de chiffres qu’il avait mécaniquement alignés. C’étaient respectivement des multiples de N et de NT.

En déduire les derniers nombres écrits par chacun des trois écoliers.


Après chaque lancer d’un dé à 6 faces, Diophante marque a ou b points (a et b étant des entiers positifs avec a>b) selon que le chiffre obtenu est pair ou impair. Il observe que le score cumulé ne peut jamais être égal à 35 valeurs entières et que 58 est l’une d’elles. Trouver a et b.


Diophante a découvert qu’il existait deux pyramides distinctes qui avaient la forme de deux tétraèdres dont tous les côtés s’exprimaient en nombre entier de mètres et qui avaient même volume et même surface globale des surfaces.

Quelles sont les dimensions de ces deux pyramides ?


Diophante et Hippolyte circulent à l’intérieur d’une pyramide qui a la forme d’un tétraèdre régulier ABCD dont les côtés ont une longueur s exprimée en coudées royales* qui est un nombre entier inférieur à 100. A la chambre du pharaon, Diophante trouve des tablettes hiéroglyphiques qui lui apprennent que les distances a, b, c, et d toujours exprimées en coudées royales qui séparent le centre de la chambre du pharaon des 4 sommets de la pyramide sont également des nombres entiers.

Diophante fait ses calculs puis s’adresse à Hippolyte :

- Je te donne la plus grande des distances qui sépare la chambre du pharaon à l’un des sommets de la pyramide. Peux-tu me donner la dimension s en coudées royales?

Hippolyte réfléchit un instant et répond :

- Je ne sais pas répondre.

Diophante :

- Tu as raison. J’avais oublié de mentionner que les quatre distances a, b, c et d sont toutes distinctes.

Hippolyte donne alors la valeur s.

Quelle sont les valeurs de a, b, c, d, et s ?

* Pour mémoire une coudée royale est de l’ordre de 53 centimètres.


Un entier est appelé nombre fraternel si sa représentation décimale est faite de la juxtaposition de deux nombres consécutifs de n chiffres chacun. Par exemple 256 257 et 12 341 235 sont deux nombres fraternels mais 98099 ne l’est pas en raison du zéro inséré entre 98 et 99.

Trouver tous les nombres fraternels de 4, 6, 8 et 10 chiffres qui sont en même temps des carrés parfaits. Peut-on trouver une infinité de nombres fraternels qui soient également des carrés parfaits ?


Un nombre entier est appelé nombre jumeau si sa représentation décimale est la juxtaposition de deux nombres identiques, chacun de ces deux nombres ne commençant pas par un zéro. Par exemple 49 567 814 956 781 est un nombre jumeau alors que 9 760 976 ne l’est pas en raison de la présence du zéro.

Trouver un nombre jumeau qui est en même temps un carré.


Diophante montre à son ami Hippolyte un papyrus sur lequel il a écrit la fraction décimale 833 / 3332

« Cette fraction a quelque chose de magique, lui dit-il, elle vaut 1 / 4. Insère un point au numérateur que l’on va assimiler à une multiplication. Fais la même chose au dénominateur. Si tu insères les points au bon endroit, tu obtiens une nouvelle expression qui garde la même valeur 1 / 4 »

Hippolyte réfléchit un instant et revient vers Diophante en lui annonçant :

« J’ai trouvé que 833 / 3332 = 8.33 / 33.32 = 264 / 1056 = 1 / 4 »

Diophante lui rétorque :

« Fort bien mais tu as oublié une autre solution »

1) Quelle est cette deuxième solution ?

2) Trouver d’autres fractions dont numérateur et dénominateur ont au maximum 4 chiffres chacun et qui permet de créer deux fractions ayant un ou plusieurs points au numérateur et au dénominateur et gardant la même valeur qu’elle? »

PS Ces fractions ont été introduites par Mike Keith il y a trente ans environ. L’une des plus connues est celle qui introduit le nombre de la Bête et comporte deux points tant au numérateur qu’au dénominateur:

666 / 64676 = 6.6.6 / 6.46.76


Un nombre entier N est dit « cyclique de rang 1 et de coefficient k» si en faisant passer son dernier chiffre en première position, le nouvel entier N’ est un multiple de N tel que N’=k*N.

Le rang est p si les p derniers chiffres lus de gauche à droite passent en tête et les nombres sont ainsi dénommés k-cycliques de rang p.

Quels sont les plus petits entiers qui sont respectivement k-cycliques de rang 1 pour k=2,3,4,5,6,7,8,9 ?

Quels sont les plus petits entiers qui sont respectivement k-cycliques de rang 2 pour k=2,3,4,5,6,7,8,9 ?

Qu’en est-il quand on fait passer le premier chiffre du nombre N en dernière position ?

Quel est le plus petit entier N qui devient N’=1,5*N quand on fait passer le dernier chiffre en première position ?


Diophante et Hippolyte participent régulièrement au marathon organisé tous les quatre ans à Olympie. Au cours du dernier marathon dont la distance est immuablement égale à 42,195 kilomètres, Hippolyte décide de courir de manière très régulière à la vitesse constante de 12 kilomètres à l’heure. Diophante adopte une tactique différente en courant par a-coups. Cette tactique ne semble pas lui réussir car tout au long de la course, à chaque kilomètre qu’il parcourt, il concède une demi-seconde à son ami. Et pourtant Diophante coiffe Hippolyte d’une demi-seconde sur le poteau. Comment est-ce possible ?


Diophante a à sa disposition un très grand nombre de briques de longueur 40cm. En les empilant les unes sur les autres et en les décalant toujours dans le même sens, il souhaite enjamber le Nil qui a une largeur de 500 mètres à Alexandrie avec sa pile toujours en équilibre. Bien entendu Diophante n’utilise aucun ciment ou liant pour rendre les briques solidaires entre elles. Son idée est-elle farfelue ?


Diophante dispose de 10 baguettes de longueurs entières 1,2,3,4,…,10 dont le poids de chaque morceau est proportionnel à sa longueur. Il souhaite les disposer à la manière des mobiles de Calder ; chacune des baguettes est dans une position horizontale stable et elle est supportée par un fil (supposé de poids négligeable) lui-même accroché à la baguette de niveau supérieur ou au crochet qui supporte l’ensemble de la composition.

L’objectif de Diophante est de trouver un montage qui rend maximum la distance qui sépare l’extrémité gauche de la baguette la plus à gauche de l’extrémité droite de la baguette située la plus à droite. Quel est ce montage et quel est son empattement ?


En 2003,dans une conférence internationale, il y avait quatre langues officielles. Quels que soient les couples de participants, il y avait au moins une langue que les deux personnes connaissaient. En déduire qu’il y avait parmi les quatre langues officielles, l’une d’elles qui était connue par au moins 60% des participants.

Cette année à cette même conférence, le nombre de langues officielles est passé à 5. Les participants ont fait des progrès linguistiques et pour tout couple de participants, il y a au moins deux langues connues par l’un et l’autre. Quel est le pourcentage minimum de pratique de l’une au moins des cinq langues ?


En 2003 Diophante avait constaté que la série alternée S = 1 – 1/2 +1/3 – 1/4 +1/5 ….-1/1334 +1/1335 mise sous la forme S=N/D avec N et D entiers irréductibles était caractérisée par la divisibilité de N par 2003.

* Démontrer cette propriété.

* Avec quelle série alternée et en quelles années postérieures à 2003, peut il être certain d’avoir la même propriété ?


1° Par combien de zéros se termine la factorielle de 2005 = 2005 ! = 1*2*3*4*…..*2004*2005 ?

2° Quel est le dernier chiffre non nul de 2005! ?

3° A partir de la formule de Stirling ou de tout autre formule simple de la même famille, calculer le nombre de chiffres de 2005 !. Quels sont les premiers chiffres que l’on peut déterminer simplement et sans risque d’erreur ?


Diophante a une belle collection de cent lézards verts de la vallée du Nil : 31 parmi eux ont une couleur vert amande (VA), 34 une couleur vert bronze (VB) et les 35 restants une couleur vert-de-gris (VG). Ils les réunit tous dans un vivarium mais il a oublié que lorsque deux lézards de couleurs différentes se rencontrent, ils prennent la troisième couleur. Quelques heures plus tard, il observe que les lézards ont tous la même couleur. Quelle est cette couleur ?

Si Diophante ajoute dans le vivarium 1 lézard vert amande, que va-t-il observer ? Que se passe-t-il avec 2 lézards vert-de-gris de plus au lieu du lézard vert amande ?

Abandonnant sa collection de lézards devenus monocolores, Diophante installe dans le vivarium huit caméléons dont un de type A, cinq de type B, un de type C et un de type D. Lorsque un caméléon de type A rencontre un caméléon de type B, cela donne deux caméléons de type C tandis que B+C donnent 2D, C+D donnent 2A et D+A donnent 2B. Les autres rencontres possibles (A+C, B+D et évidemment A+A, B+B, C+C, D+D) ne donnent lieu à aucun changement.

Quelques heures plus tard, Diophante constate que les huit caméléons sont tous de même type. Quel est ce type ? Il renouvelle l’expérience toujours avec 1A, 5B, 1C et 1D. Cette fois-ci, il observe une situation d’équilibre dans laquelle il n’y a pas de caméléon de type D. Quelle est cette situation d’équilibre ?

Il fait une troisième expérience avec 1A, 1B, 4C, 2D. Il observe une situation d’équilibre avec 3 caméléons de type A. Que peut-on en conclure ?


On considère une liste de k nombres distincts entre eux. On peut ajouter à cette liste un (k+1)-ième terme qui est la moyenne arithmétique de tout ou partie des k nombres à la seule condition que celle-ci soit différente de ces k nombres. L’opération peut être répétée autant de fois qu’on le désire.

On part du couple [0,1]. Comment obtenir (si possible en un minimum d’opérations) les fractions :

* 7 / 15 ? (score de 11 opérations à améliorer)

* 17 / 31 ? (score de 39 opérations à améliorer)

* 2004 / 2005 ?

D’une manière générale, trouver une méthode pour obtenir la fraction p/q avec p et q entiers premiers entre eux tels que 0<p<q ?


Parmi les cent premiers nombres entiers naturels 1,2,3,…,100, trouver le plus grand sous-ensemble possible d’entiers tels que les PPCM de toutes les paires possibles soient tous différents.


Une station météo locale fournit les données de la pluviosité journalière pour les mois de septembre, octobre et novembre. La quantité d’eau tombée chaque jour est donnée arrondie au millimètre. Les hauteurs d’eau journalière de ces trois mois sont ordonnées de 0 mm pour les jours sans pluie à 9 mm qui est la hauteur d’eau journalière la plus élevée.

Le nombre de jours sans pluie durant ces trois mois est un nombre premier.

Le nombre de jours où il est tombé moins de 2 mm d’eau est également un nombre premier.

De même, les nombres de jours où il est tombé moins de 3mm, moins de 4 mm, moins de 5 mm, moins de 6 mm, moins de 7 mm, moins de 8 mm et moins de 9 mm, sont tous des nombres premiers.

Notons enfin que la hauteur d’eau totale, exprimée en mm, est encore un nombre premier.

Combien y-a-il eu de jours sans pluie ?


2004

Problème n°1

* Exprimer 2004 à l’aide des chiffres 1 à 9 utilisés isolément dans n’importe quel ordre avec les seuls opérateurs + et x comme si les opérations étaient réalisées sur une calculette ordinaire (par exemple :3 + 4 x 5 = 7 x 5 = 35)

* Même question avec les chiffres 1 à 9 utilisés isolément dans l’ordre et les opérateurs +, - , x , / , puissance (^), racine carrée , factorielle (!). Les parenthèses sont admises.

* Même question en supprimant successivement un chiffre de 1 à 9 et en utilisant les autres chiffres toujours dans l’ordre avec les opérateurs de b). Il s’agit de trouver 9 formules qui utilisent le moins de symboles possibles.

d) Exprimer 2004 en utilisant de façon répétitive un seul chiffre (de 1 à 9) ainsi que les opérateurs +, - , x , / , ^ et factorielle( !). Les parenthèses sont aussi admises.

Problème n°2

Trouver une partition de 2004 sous la forme de nombres entiers a 1, a 2,….,a i,…tels que S[a i]=2004 et S[1/a i)]=1

Problème n°3

Depuis minuit, les aiguilles sur l’horloge se sont croisées pour la 2004ème fois. Quelle heure est-il ?

Nota : lorsque les trois aiguilles se croisent en même temps, on ne compte qu’un seul croisement.

Problème n°4

0,000 499 001..

L’expression ci-dessus représente l’inverse de 2004, en écriture décimale. Quelle est sa 2004 ème décimale ?

Problème n°5

2004 cartes numérotées de 1 à 2004 sont placées sur la circonférence d’un cercle dans cet ordre. Partant de la carte n°1, on supprime la carte n°2, puis la carte n°4 etc… puis la carte n°2004 puis on continue le processus en éliminant toujours une carte sur deux. Quel est le numéro de la dernière carte restante ?

Problème n°6

2004 cartes numérotées de 1 à 2004 sont placées faces visibles sur la circonférence d’un cercle dans cet ordre. Dans un premier temps, partant de la carte n°2 on retourne une carte sur deux ,c’est à dire la n°2,puis la n°4,la n°6…. Dans un deuxième temps, partant de la carte n°3 on retourne une carte sur trois, c’est à dire la n°3, puis la n°6, la n°9,…..A la 1002 ème étape, on retourne la carte n°1002 puis la carte n°2004. A la 1003 ème étape, on retourne la carte n°1003….A la dernière étape on retourne la carte n°2004. Quelles sont les cartes dont les numéros sont visibles ?

Problème n°7

Existe-t-il un entier N tel que 2004*N=222222….2222 ? Si oui, quel est le nombre de chiffres de N?

Problème n°8

Une calculette est en panne. Il est seulement possible d’utiliser les touches +, - , = et 1/x (fonction inverse). Toutes les touches numériques ainsi que la mémoire fonctionnent. Comment calculer le produit 176 * 12 qui est égal à 2004 ?

Problème n°9

Quels sont les côtés du plus petit triangle dont le périmètre et l’aire sont des multiples de 2004 ?

Problème n°10

On considère 2 cercles C(1) et C(2) de rayon unité tangents entre eux et à l’axe des abscisses. On construit le cercle C(3) tangent à l’axe des abscisses et à C(1) et C(2)., puis le cercle C(4) tangent à C(2) ,C(3) et à l’axe des abscisses, …puis C(n) tangent à C(n-2) et C(n-1)…. Si les abscisses des centres de C(1) et C(2) sont respectivement 0 et 2, quel est le rayon du cercle C(2004) et l’abscisse de son centre ?

Problème n°11

Il y a plusieurs siècles, une bande de 2004 voleurs fut arrêtée parmi lesquels se trouvait le fils du roi. Ils furent jetés en prison avec un matricule pour chacun, le fils du roi le numéro 1et le chef de bande portant le numéro 2. Après un procès plus qu’expéditif, ils furent condamnés à la pendaison mais le roi décida une mesure de clémence faite sur mesure pour son fils. « Demain, proclama-t-il, tous les prisonniers portant leur matricule sur le dos seront transférés dans la cour de la prison et placés sur les 2004 sommets d’un polygone régulier spécialement tracé à cette occasion. Je partirai du numéro 1 qui sera libéré (comme par hasard !) puis je compterai 1 sommet dans le sens des aiguilles d’une montre et le prisonnier qui se trouve placé à ce sommet sera libéré. Partant du matricule k affiché par cet homme, je compterai k sommets toujours dans le sens des aiguilles d’une montre et je désignerai ainsi un troisième prisonnier qui sera libéré et ainsi de suite…mais si dans mes comptages successifs, j’arrive à un sommet vide car le prisonnier qui s’y trouvait a été libéré, alors tous les prisonniers restants seront pendus.

Le chef de bande qui n’était pas sot cogita une bonne partie de la nuit et le lendemain matin il fit en sorte que les prisonniers puissent se placer sur les sommets du polygone selon un ordre qu’il avait soigneusement calculé. Tous les prisonniers y compris lui-même furent libérés. Comment a-t-il fait ? Quand fut-il libéré ?

PS Il est conseillé de commencer le problème avec une bande à effectif réduit…

Problème n°12

2004 nombres entiers relatifs (<0,=0 ou >0) dont la somme est égale à 1,sont placés sur les sommets d’un polygone régulier. Existe-t-il un sommet de ce polygone tel qu’en collectionnant dans le sens des aiguilles d’une montre les nombres adjacents, la somme cumulée de ces nombres soit toujours positive jusqu’au ramassage du dernier ?

Problème n°14

On considère le nombre N obtenu par la juxtaposition dans l’ordre descendant des entiers 2004,2003,…jusqu’à 1.Trouver au moins un facteur premier de N.

Problème n°15

Dans l’ensemble des entiers naturels de 1 à 2004, on définit le sous-ensemble E tel qu’aucun d’eux ne soit le double d’un autre. Quelle est la taille maximale de E?

Quelle est cette taille si un nombre quelconque de E n’est jamais le triple d’un autre ? ni le double ni le triple d’un autre ?

Problème n°16

On considère une suite de nombres entiers tous positifs tels que la somme d’un terme quelconque (autre que le dernier) et du quadruple du terme voisin de droite est toujours égale à 2004. Quel est le nombre maximum de termes de la suite ?

Problème n°17

2004 et la séquence croissante des PGCD (plus grands communs dénominateurs)

Quelle est la plus longue séquence possible strictement décroissante d’entiers positifs dont le premier terme est 2004 et dont les PGCD des termes consécutifs pris 2 à 2 sont strictement croissants?

Problème n°18

Sur un grand damier de jeu, on dispose de N=2004 pions blancs qui deviennent noirs quand on les retourne. On choisit un nombre P=19 et l’on retourne P pions autant de fois que nécessaire de manière à n’avoir que des pions noirs. Est-ce possible? Si oui, quel est le nombre minimum de retournements nécessaires ?

Problème n°19

Noir ou blanc ?

Sur ce même damier, 2004 pions sont répartis en 1002 pions blancs et 1002 pions noirs et on convient des opérations suivantes : deux pions de la même couleur sont remplacés par un pion blanc et deux pions de couleurs différentes sont remplacés par un pion noir. On répète ces opérations jusqu’à ce qu’il ne reste plus qu’un pion Existe-t-il un processus qui permet de n’avoir qu’un seul pion blanc ?

Qu’en est-il si la répartition initiale est de 1003 pions blancs et 1001 pions noirs ?

Problème n°20

Trouver les entiers A et B tels que le nombre N défini par la concaténation de A et B encadrant 2004 soit un multiple de 2004 le plus petit possible.

Problème n°21

Trouver les plus petits entiers A et B tels que A/B = 2,00420042004200420042…..

Problème n°22

On écrit les entiers 2004,2003,… les uns à la suite des autres en ordre décroissant jusqu’à 1. On veut restituer l’ordre croissant 1,2,3, …2003,2004 en adoptant le mode opératoire suivant : on choisit un nombre k de la séquence et on le déplace de k cases en partant de son voisin de droite. Si lors du déplacement on arrive à la fin de la séquence, on poursuit le décompte en partant de la première case. Le nombre k prend alors sa place d’arrivée et le nombre chassé prend la place qu’avait le nouveau venu. Par exemple dans la séquence 2,5,1,3,4 le déplacement du chiffre 3 amène ce dernier à la place du chiffre 5 et la nouvelle séquence s’écrit 2,3,1,5,4.

Quel est le nombre minimal de déplacements qui permet de reconstituer la séquence croissante de 1 à 2004 ?

Problème n°23

Trouver le plus petit nombre qui a strictement 2004 diviseurs y compris 1 et lui-même.




Alors voici le probleme: Tu est un expert en systemes de communications codes. Tu vient de recevoir ce message.


Cher Monsieur (ou Mme, Mlle),

Nous desirons soliciter vos services pour une mission assez particuliere. Nous travaillons pour une association de lutte anti corruption Algerienne. Nous sommes actuellement sur un dossier de corruption. Un haut responsable du ministere des ports et des aeroports vient d'attribuer un contrat a une societe Americaine denomee Cyclone Corp. pour la construction de plusieurs batiments, qui acceuilleront des appartements destines a servir de logements de fonction de luxe pour les hauts cadre du ministere. Or il se trouve que selon des informations qui nous sont parvenues des USA que la compagnie Cyclone Corp. n'a aucune experience dans ce genre de projets et normalement effectue des travaux de deblayage pour les mairies aux USA apres le passage de tornades. Selon nos informations cette societe est habituee a verser des pots de vins pour obtenir ses contrats. Nous pensons qu'elle a fait exactement cela avec le cadre en question.

Les services de securite ont refuse de declencher une procedure legale tant que nous n'avons pas de preuves concretes de ce que nous avancons. Nous avons reussit a obtenir, a travers un indicateur au ministere des ports et aeroports une copie des derniers emails du haut responsable en question qui s'appelle Mr. Boutchipa. L'un des messages provient de la societe Cyclone Corp. justement mais ce dernier est code. Nous avons besoin que vous decodiez la transmission pour nous car nous sommes sur que c'est un message qui l'incriminera et qui parle des pots de vins et cela nous permettra de le faire arretter et d'annuler le contrat. Nous comptons sur vous pour que vous acceptiez la mission. Nous pensons que le message fut ecrit et ensuite code avec une cle. A vous de trouver l'algorithm de code et la cle et ensuite le message. Si vous desirez nous transmettre un mot pour tester le systeme de codage veuillez nous le demander, nous ferons cela pour vous. Voici ci joint le message intercepte. Bonne chance.


.80.32.73.61.46.115.38.44.72.36.66.38.76.41.57.98.77.44.89.58.78.69.87.68

.63.92.52.63.68.81.81.79.53.44.72.104.89.60.56.71.46.35.15.29.77.30.64.24

.30.48.43.67.47.4.33.49.104.71.92.56.76.67.82.67.58.98.52.64.24.102.45.79

.84.62.73.73.65.87.102.74.47.66.65.9.91.78.36.59.103.64.102.79.38.95.60.63

.57.94.72.73.30.37.52.69.105.44.79.90.90.70.62.136.105.100.29.65.46.65.96

.55.46.90.69.30.21.89.65.48.110.97.56.66.86.50.81.53.84.80.83.42.84.16.74

.50.93.96.19.51.39.119.36.31.73.61.28.69.61.51.40.51.77.28.42.74.40.71.50

.35.64.23.65.55.27.74.29.49.78.40.73.43.52.46.42.67.54.72.67.67.57.45.56.75

.46.45.49.72.95.56.89.52.84.102.69.51.55.42.43.64.104.58.61.51.107.70.45

.109.55.104.63.45.58.106.42.41.57.49.41.117.99.86.34.64.72.81.59.83.78.102

.91.31.47.65.97.53.69.18.71.73.62.55.49.101.42.79.97.48.58.101.83.74.48.61

.97.55.79.71.72.54.40.115.69.41.30.42.88.77.50.69.100.60.66.91.47.57.113.49

.52.108.57.64.19.48.57.115.66.67.89.109.106.126.105.80.41.87.89.49.31.23

.100.56.62.22.62.87.37.90.66.63.64.95.66.55.71.97.31.45.64.96.65.65.87.44

.88.79.70.76.94.84.45.55.28.57.46.48.128.74.41.94.82.59.76.86.90.33.64.70

.88.75.89.43.62.63.88.55.84.80.54.65.99.51.72.100.69.75.4.88.75.45.39.61

.109.17.66.57.44.82.92.44.48.127.90.82.53.51.69.103.70.70.0.53.51.101.65

.96.65.46.85.88.54.56.103.66.69.87.55.46.39.96.74.49.67.80.60.51.73.100.47

.52.123.61.48.110.95.65.69.94.116.131.73.34.33.100.92.24.51.52.106.19.49

.72.42.45.120.57.60.102.64.79.75.86.44.94.51.79.92.70.74.61.60.83.81.20.35

.85.87.61.61.67.78.73.81.75.51.52.81.86.99.50.73.67.46.96.35.47.58.85.68.72

.80.97.41.79.99.31.48.38.54.40.79.91.101.76.42.55.54.104.55.63.105.54.81

.19.57.75.8.67.55.64.77.87.55.45.74.106.95.73.55.52.26.62.99.55.55.78.82.63

.53.57.110.120.126.95.80.82.60.64.76.79.52.78.88.91.66.66.71.36.33.60.75

.74.60.98.60.98.92.17.83.103.33.65.75.82.67.97.45.57.44.39.56.57.107.48.67

.104.73.88.64.51.49.126.63.71.85.79.71.63.48.68.106.69.76.5.84.53.73.73.40

.92.50.75.88.99.93.30.72.55.82.35.17.88.52.39.117.68.66.75.59.78.86.67.59

.14.55.96.54.88.77.45.66.65.79.45.69.91.91.101.21.74.78.70.51.44.114.80.66

.77.56.47.37.49.51.105.92.75.59.53.39.117.70.83.54.43.62.35.62.63.101.72.78

.69.61.61.103.55.86.82.58.34.48.51.70.87.56.81.68.47.73.98.93.86.44.69.44

.27.57.48.120.83.102.33.50.72.18.100.44.66.84.72.69.94.101.29.90.64.71.75

.45.102.51.58.31.86.59.75.44.100.78.91.61.67.78.92.37.90.67.55.74.81.54.77

.68.9.56.46.19.56.29.33.41.57.23.33.19.66.46.47.98.47.100.66.75.79.64.99.47

.61.101.126.113.69.63.90.78.51.80.80.60.77.44.66.99.87.82.49.53.85.86.47

.75.30.27.24.70.23.58.37.31.70.84.100.55.58.93.43.71.53.67.92.79.51.75.74

.99.36.98.102.16.35.51.54.42.87.53.96.60.63.65.80.73.97.71.41.62.69.92.47

.56.49.49.52.20.33.48.37.52.54.82.82.42.52.55.35.89.57.23.60.58.54.96.46.54

.109.31.42.67.78.55.42.68.89.72.84.84.39.62.84.70.60.82.77.48.87.83.53.85

.71.42.55.43.52.75.48.43.60.116.44.71.107.66.85.69.55.64.35


Claudette, Louise et Micheline enseignent des matières différentes.

Il y a une enseignante de mathématiques, une d'anglais et une autre de français.

L'une est blonde, une autre est brune et la troisième est rousse (pas nécessairement dans l'ordre où les prénoms ont été fournis).

La plus jeune a 36 ans, la seconde, 39 et la plus vieille est âgée de 42 ans. Donnez :

l'âge, la couleur de cheveux et la spécialité de chacune, d'après les indices suivants:

La plus vieille n'est pas la rousse.

La blonde a prêté à Claudette un de ses volumes de français.

La brune ne s'intéresse pas aux mathématiques, tout comme Louise.

Celle qui enseigne l'anglais et Micheline sont plus âgées que Louise.


Matteo est le papa de 4 enfants. Une fille aînée et trois

triplés. La fille aînée de Matteo qui collectionne les poupées, en

reçoit 14 à chaque anniversaire, depuis son premier anniversaire.

Quant aux triplés, la place venant à manquer chez Matteo, ils ont dû

se contenter de 4 ours en peluche chacun à chaque anniversaire.

Matteo constate qu'en additionnant le carré de son âge avec LES carrés

des âges de ses enfants puis en ajoutant 1, il obtient 1998. Par

ailleurs, en ajoutant au carré de son âge le nombre de poupées et

d'ours en peluche de ses enfants, puis en ajoutant à nouveau 1, il

obtient le produit de l'âge de sa femme, qui a 29 ans, par l'âge de sa

mère, qui a 71 ans.

Quel est l'âge de Mattéo?


On rappelle qu’une fraction égyptienne est une fraction dont le numérateur est 1 et le dénominateur est un entier positif. Trouver le plus grand nombre possible de fractions égyptiennes dont le dénominateur est strictement inférieur à 100 et dont la somme est égale à 1.Qu’en est-il si l’on admet un dénominateur inférieur ou égal à 100 ?


Quelle est la plus longue séquence possible strictement décroissante d’entiers positifs dont le premier terme est 2004 et dont les plus grands communs dénominateurs (PGCD) successifs des termes consécutifs pris 2 à 2 sont strictement croissants?


Trouver le plus grand nombre possible de fractions irréductibles distinctes dont le numérateur est un nombre premier inférieur à 100 et dont la somme est égale à 1.


1) On dispose de trois conteneurs qui ont chacun une capacité de 50 litres. Le premier contient 3 litres d’eau, le second 8 litres et le dernier 23 litres. On adopte la règle suivante : on peut verser le contenu d’un conteneur dans un autre à la seule condition de doubler le volume d’eau contenu dans le second. C’est ainsi qu’avec le troisième conteneur qui contient 23 litres d’eau, on peut verser 3 litres dans le premier et/ou 8 litres dans le second. Montrer qu’il est possible de vider l’un des conteneurs. Quel est le nombre minimum de versements ?

2) Même question avec trois conteneurs qui ont une capacité de 500 litres et sont remplis respectivement à hauteur de 37, 91 et 203 litres.

3) Généralisation avec des entiers positifs a,b,c tels que c>b>a. Peut-on toujours vider un conteneur ? Quelles sont les conditions sur a,b et c ?


En 2003, les 999 membres d’une association ont élu à bulletin secret les 6 membres de leur conseil d’administration selon la règle de la représentation proportionnelle au plus fort reste. Trois listes A, B et C étaient en compétition. Chacune d’elles a obtenu 2 sièges.

Comme ce conseil composé d’un nombre pair de membres n’arrivait jamais à trouver une majorité, il a été décidé de proposer aux membres de l’association de voter en 2004 pour 7 membres.

999 personnes ont encore voté avec toujours les trois listes A, B et C. La liste A a obtenu 14 voix de plus qu’en 2003 tandis que les listes B et C ont recueilli respectivement 5 et 9 voix de moins. Et pourtant, la liste A a perdu un siège, B et C en ont gagné un chacune.

Comment est-ce possible ? Quelles étaient pour chacune de ces deux élections, les résultats exacts en nombre de voix ?

PS On suppose que pour les deux élections, il n’y a eu ni bulletin blanc, ni bulletin nul.


Diophante a acheté un pré carré ABCD qui a la particularité suivante : c’est le plus petit carré possible tel qu’il existe un point P à l’intérieur (bords exclus) situé à des distances entières des quatre sommets A,B,C,D.

Quelle est la dimension du carré et quelle sont les distances de P aux quatre sommets ?

Existe-t-il un carré dont la dimension est un nombre entier tel qu’il existe un point P interne au carré et situé à des distances entières des sommets ?

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Diophante cherche à partager un pré carré ABCD dont le côté est un nombre entier en k triangles (k=3,4,5,6,..) dont les côtés sont eux mêmes des nombres entiers.

Selon l’entier k, déterminer les partages possibles en recherchant dans chaque cas le carré ABCD le plus petit possible. On recherchera successivement des partages qui donnent :

* exclusivement des triangles rectangles

o distincts entre eux

o non semblables entre eux

* des triangles quelconques, rectangles ou non, tous distincts entre eux.


Diophante a une belle collection de 64 cravates mais comme il est désordonné, elles sont dispersées dans sept tiroirs différents de la manière suivante : 3, 13, 1, 14, 9, 5 et 19. Il souhaite les réunir dans un seul et même tiroir en s’imposant la règle suivante : si les tiroirs A et B contiennent respectivement a et b cravates avec a b>0, il peut transférer b cravates du tiroir A vers le tiroir B. A contient alors a – b cravates et B en contient désormais 2b.

Montrer que Diophante peut parvenir à ranger toutes ses cravates dans un seul tiroir en un nombre fini de manipulations. Peut-il encore y parvenir en se fixant a priori le numéro du tiroir où doivent se retrouver toutes les cravates, le 7 ème par exemple ?

Généralisation : Diophante dispose d’une collection de cravates rangées dans k tiroirs ( n et k entiers naturels quelconques).Chacun d’eux en possède au moins une. En s’imposant la règle précédente, Diophante peut-il réunir toutes les cravates dans un seul et même tiroir en un nombre fini de manipulations ? Y parvient-il en se fixant a priori le numéro j du tiroir où seront rangées toutes les cravates.


Trois néologismes dont le dernier à consonance anglo-saxonne pour désigner les phrases qui décrivent leur propre contenu. Trouver une ou plusieurs phrases autoréflexives dans lesquelles toutes les lettres de l’alphabet sont dénombrées en français.


n paquet de 36 cartes est composé de 9 cartes de chaque couleur (pique, coeur, carreau et trèfle) et le dos de chaque carte a pour unique motif une grande flèche. Le paquet est mélangé par une personne dans le public puis est récupéré par l’assistant du magicien qui a le temps de prendre connaissance du contenu des cartes sans en modifier l’ordre. Le magicien demande alors à son assistant de lui montrer successivement le dos de chacune des cartes en partant de celle qui au-dessus du paquet. A chaque fois, le magicien prédit la couleur de la carte. L’assistant retourne la carte, annonce sa couleur et la met de côté. Le magicien marque un point quand sa prédiction est correcte. Le processus se poursuit jusqu’à épuisement du talon.

En supposant que l’assistant du magicien est assez habile pour orienter discrètement la flèche visible sur le dos des cartes dans un sens convenu avec le magicien, quel est le score maximum que le magicien est certain d’atteindre ?


Vous êtes perdu dans une immense forêt et vous avez pour seule indication qu’il y a un chemin forestier rectiligne qui se trouve à 5 kilomètres de l’endroit où vous vous trouvez. Mais vous ignorez dans quelle direction il se trouve. Quel est le chemin le plus court qui vous y mènera ?

Nota : on admet que muni des instruments les plus sophistiqués (boussole, GPS,etc..), vous êtes en mesure d’avoir un repérage très précis du parcours que vous effectuez par rapport à votre point de départ et que les parcours les plus alambiqués ne vous rebutent pas.


Diophante se baigne en plein milieu d’un étang circulaire de rayon 100 mètres quand il voit apparaître un mauvais génie, vampire de surcroît, qui tourne autour de l’étang (sans pouvoir mettre un doigt de pied dans l’eau) afin de se précipiter sur lui dès qu’il aura rejoint les berges de l’étang. Diophante calcule que le mauvais génie se déplace quatre fois plus vite qu’il ne le fait dans l’eau mais il sait que sur terre il court beaucoup plus vite que lui et peut donc échapper à son horrible étreinte à condition bien entendu qu’il puisse toucher terre avant son arrivée.

Comment Diophante doit-il s’y prendre pour échapper à l’étreinte du vampire ?

Si la vitesse du mauvais génie est 4 fois et demie celle de Diophante dans l’eau, Diophante peut-il toujours s’en sortir sain et sauf ?


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Ces énigmes étaient trop facile??? Alors passons aux choses serieuses...

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Certains des problèmes suivnats nécéssitent des connaissances poussées en Mathématiques.

(les trois * des exercices suivants sont sous entendues)


Problème 1:

Par combien de zéros se termine le nombre 1 000 000! (factorielle un million)?

Problème 2:

Après avoir ramassé une certaine quantité de noix de coco, cinq marins sur une île déserte décident d'attendre le lendemain pour diviser le tas en parts égales. Pendant la nuit l'un des marins se lève, partage les noix de coco en cinq tas égaux avec un reste d'une noix qu'il jette à un singe qui passait opportunément à proximité, et, après avoir caché sa part, rassemble les tas restants et retourne se coucher. le second marin fait de m^me, ainsi que le troisième, le quatrième et le cinquième. Le matin, le nombre de noix de coco restantes, moins une, est encore divisible par 5.quel est le nombre minimum de noix de coco que pouvait contenir le tas d'origine?

Problème 3:

Que peut bien signifier une expression comme: et quelle valeur doit-on lui donner?

Problème 4:

Quel est le plus grand nombre d'éléments que puisse avoir un ensemble d'entiers compris entre 1 et 100, si on suppose qu'aucun des éléments de cet ensemble n'est divisible par un autre?

Problème 5:

Existe-t-il des nombres irrationnels et tels que soit rationnel?

Problèmes 6: trou noir mathémagique

Un trou noir mathémagique est défini dans un sous-ensemble E des entiers naturels N par une fonction f telle que :

* il existe un entier n appartenant à E et satisfaisant l’équation f(n) = n,

* pour tout entier x appartenant à E, il existe un entier k tel que f(f(f(….(x))) = n avec k itérations de f.

Trouver les sous-ensembles E et les fonctions f associées aux entiers 15, 123, 153, 6174.

Problème 7:

Le directeur financier de la société Caquarante qui publie des comptes mensuels met en avant la bonne santé de la société car les résultats calculés sur douze mois glissants sont toujours positifs.

Un analyste financier affirme qu'il n'en est rien car ces mêmes résultats calculés sur neuf mois glissants sont toujours en perte.

Quelle est la durée maximale D de la période sur laquelle ces deux affirmations sont vraies.

Quelle est la durée D si les annonces de l’un et l’autre sont faites respectivement pour des périodes de 12 et x mois avec x entier 2 ?

Généraliser avec des périodes glissantes de p mois au cours desquelles les résultats cumulés sont toujours strictement positifs et des périodes glissantes de q mois (avec q<p) au cours desquelles les résultats cumulés sont toujours strictement négatifs. Quelle est en fonction de p et q, la durée maximale de la période au cours de laquelle ces résultats restent compatibles.

Problème 8:

Championnat International des Jeux Mathématiques & Logiques